Evolton
方針
法線を接点の 座標 で表し、直線 との交点の 座標を関数 として得る。異なる3本の法線が通る条件は、水平線 が三次関数 のグラフと異なる3点で交わる条件である。したがって の符号、極大値・極小値、端点で重解になる場合を順に調べる。
解答
(1)
放物線 上の点 における接線の傾きは である。
まず とする。このとき法線の傾きは であるから、法線の方程式は である。これが直線 と交わる点を とすると であり、両辺に をかけて となる。したがって である。
また のとき、接線は 、法線は であるから、直線 との交点は である。上の式に を代入しても となる。よってすべての実数 について である。
(2)
点 を通る法線の本数は、方程式 の異なる実数解 の個数に等しい。そこで とおく。
導関数は である。 のときは であり、特に では単調増加、 では である。いずれも水平線 と3点で交わることはない。
次に とする。このとき となるのは である。符号を調べると、 は で増加、 で減少、 で増加する。したがって で極大、 で極小をとる。
極値を計算する。 より であり、 である。水平線 がグラフと異なる3点で交わるためには、 が極小値と極大値の間に厳密に入ることが必要十分である。端点では接するため異なる解は2個以下になる。よって である。すなわち である。
以上より、求める範囲は である。
別解
解法2
方針
接点の座標 と点 の座標 の関係を三次式にする。異なる3解をもつ範囲の境界では方程式が重解をもつので、三次式とその導関数を同時に満たす重解を消去して2つの境界値を求める。
解答
(1)
では法線はである。 を代入して整理すると の法線は であり、この場合も なので同じ式が成り立つ。
(2) とする。異なる3法線が を通るとは が異なる3実数解をもつことである。そのような範囲の端では2解が一致するので、ある がを同時に満たす。ところが従って端が存在するには が必要で、である。 を使うと三次関数は左端から増加、中央で減少、右端で再び増加するので、この2つの境界値の間では水平線が3回交わる。境界そのものでは接して異なる交点は2個になる。よって
総評
法線条件を三次関数の交点数に直す典型問題で、想定時間は22分程度。 で法線の傾きを と書けないため、そこだけ別に確認するのが丁寧である。(2)は の単調性を落とすと答えの条件が不完全になる。極大値・極小値では を使うと計算が短く、端点を含めない理由は「接して重解になるから」と明記するとよい。