名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

曲線上の点 $P$ を $P=(\log u,u)(u>0)$ とおく。曲線 $x=\log y$ について $${\displaystyle \frac{dx}{dy}}={\displaystyle \frac{1}{y}}$$ であるから，$y=u$ における接線の傾きは $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=u$$ である。したがって法線の傾きは $-{\displaystyle \frac{1}{u}}$ である。

点 $P$ を通る法線は $$y-u=-{\displaystyle \frac{1}{u}}(x-\log u)$$ である。この法線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。$y=0$ を代入すると $-u=-{\displaystyle \frac{1}{u}}(x-\log u)$ なので $x=\log u+u^2$ である。よって $Q=(\log u+u^2,0)$ である。 $R=(X,Y)$ は $P,Q$ の中点だから$$X={\displaystyle \frac{\log u+\log u+u^2}{2}}=\log u+{\displaystyle \frac{u^2}{2}},Y={\displaystyle \frac{u}{2}}$$である。$u=2Y$ を代入して $$X=2Y^2+\log (2Y)(Y>0)$$ を得る。したがって，求める軌跡は $$x=2y^2+\log (2y)(y>0)$$ である。

(2)

(1) の軌跡を $x=2y^2+\log (2y)$ と見る。右辺を $y$ で微分すると $${\displaystyle \frac{dx}{dy}}=4y+{\displaystyle \frac{1}{y}}>0$$ なので，軌跡は $y>0$ で右上がりに進む。

境界の2直線に対応する $y$ を求めると，$y=1\mathrm{/}2$ のとき $$x=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+\log 1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり，$y=1$ のとき $x=2+\log 2$ である。したがって求める面積は，$x$ 軸から軌跡までの高さ $y$ を用いて $$\int ydx$$ で表される。$x=x(y)$ として変数を $y$ に直すと$$S={\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}y{\displaystyle \frac{dx}{dy}}dy={\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}y(4y+{\displaystyle \frac{1}{y}})dy$$である。よって $$S={\int }_{1\mathrm{/}2}^1(4y^2+1)dy={[{\displaystyle \frac{4}{3}}{y}^3+y]}_{1\mathrm{/}2}^1$$ である。計算すると$$({\displaystyle \frac{4}{3}}+1)-({\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{7}{3}}-({\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{7}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$$となる。したがって求める面積は ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ である。

軌跡と求める面積

軌跡は媒介変数 $u$ から同じように求める。面積は $$\int ydx$$ を直接計算せず、
部分積分で端の長方形から $$\int xdy$$ を引く形にする。

(1)
$P=(\log u,u)$，$u>0$ とおく。法線の傾きは $-1\mathrm{/}u$ なので$$Q=(\log u+u^2,0)\mathrm{.}$$中点 $R=(x,y)$ は$$x=\log u+{\displaystyle \frac{u^2}{2}},y={\displaystyle \frac{u}{2}}\mathrm{.}$$$u=2y$ を代入して$$x=2y^2+\log (2y),y>0$$を得る。

(2)
2本の縦線に対応する端点は$$(x,y)=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),(2+\log 2,1)$$である。部分積分により$$\int ydx=[xy{]}_{1\mathrm{/}2}^1-{\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}xdy\mathrm{.}$$ここで $x=2y^2+\log (2y)$ だから$$[xy{]}_{1\mathrm{/}2}^1={\displaystyle \frac{7}{4}}+\log 2,$$$${\int }_{1\mathrm{/}2}^{1}xdy={\int }_{1\mathrm{/}2}^1\{2y^2+\log (2y)\}dy={\displaystyle \frac{1}{12}}+\log 2.$$よって求める面積は$${\displaystyle \frac{7}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$$である。