名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$q=1-p$ とおく。$n$ 秒間で横方向に動いた回数を $H$ とする。横方向の移動は $x$ 座標を反転させ、縦方向の移動は $y$ 座標を反転させる。出発点は $A(0,1)$ である。 $A$ または $C$ にいるには、移動後も $x$ 座標と $y$ 座標の偶奇がそろっている必要がある。これは移動回数 $n$ が偶数であるときに限られる。したがって $n$ が奇数なら $a_n=0,c_n=0$ である。

次に $n=2m$ とする。このとき縦方向の移動回数は $2m-H$ であるから、$H$ が偶数なら縦方向の移動回数も偶数で、点は $A$ にいる。$H$ が奇数なら縦方向の移動回数も奇数で、点は $C$ にいる。よって $$a_{2m}=\sum _{j=0}^m{}_{2m}{\mathrm{C}}_{2j}{p}^{2j}{q}^{2m-2j}$$ である。

偶数項和を求めるため、$(p+q{)}^{2m}=1$ と $$(q-p{)}^{2m}=\sum _{h=0}^{2m}{}_{2m}{\mathrm{C}}_h(-1{)}^h{p}^h{q}^{2m-h}$$ を加える。奇数次の項が消えるので $$2a_{2m}=1+(q-p{)}^{2m}=1+(1-2p{)}^{2m}$$ である。したがって $$a_{2m}={\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^{2m}}{2}}$$ である。

また偶数秒後には $A$ と $C$ のどちらかに必ずいるので $a_{2m}+c_{2m}=1$ である。ゆえに $$c_{2m}={\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^{2m}}{2}}$$ である。

以上をまとめると、$$a_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}& (n\text{ が偶数}),\end{array}{c}_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。

奇数秒後には対角の2点 $A,C$ のどちらにもいない。偶数秒後だけを2秒単位の2状態過程と見て、$A,C$ にいる確率の和と差の漸化式を作る。和は1、差は毎回 $(1-2p{)}^2$ 倍となる。

$q=1-p$ とおく。奇数秒後には正方形の $B,D$ 側にいるので$$a_n=c_n=0(n\text{ が奇数})$$である。

$n=2m$ とする。2秒間で同じ方向へ2回動く確率を$$u=p^2+q^2,$$横・縦へ1回ずつ動く確率を$$v=2pq$$とする。前者では $A,C$ の側が変わらず、後者では入れ替わる。従って$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2m+2}}& {\displaystyle =u{a}_{2m}+v{c}_{2m},}\\ {\displaystyle c_{2m+2}}& {\displaystyle =v{a}_{2m}+u{c}_{2m}\mathrm{.}}\end{array}$$初期値は $a_0=1,c_0=0$ であり、和について$$a_{2m}+c_{2m}=1,$$差について$$a_{2m+2}-c_{2m+2}=(u-v)(a_{2m}-c_{2m})=(p-q{)}^2(a_{2m}-c_{2m})$$を得る。よって$$a_{2m}-c_{2m}=(p-q{)}^{2m}=(1-2p{)}^{2m}\mathrm{.}$$以上から$$a_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}& (n\text{ が偶数}),\end{array}{c}_n=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。