名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$$${\log }_{x^2}(ax+3)={\displaystyle \frac{{\log }_x(ax+3)}{{\log }_x{x}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_x(ax+3)$$であるから $$2{\log }_{x^2}(ax+3)={\log }_x(ax+3)$$ である。したがって第1式は $$2+{\log }_{x}y-{\log }_{x}a={\log }_x(ax+3)+{\log }_x(x-a+1)$$ となる。さらに$2={\log }_x{x}^2$なので、左辺は ${\log }_x{\displaystyle \frac{x^{2}y}{a}}$ である。右辺は ${\log }_x\{(ax+3)(x-a+1)\}$ である。よって $${\displaystyle \frac{x^{2}y}{a}}=(ax+3)(x-a+1)$$ となり $$y={\displaystyle \frac{a(ax+3)(x-a+1)}{x^2}}$$ である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
まず $(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}$ であり、したがって $$(1+\sqrt{3}{)}^3=(4+2\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=10+6\sqrt{3}=2(5+3\sqrt{3})$$ である。第2式 $$(5+3\sqrt{3})(1+\sqrt{3}{)}^{ax}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{3}{)}^y$$ の両辺を2倍すると $$2(5+3\sqrt{3})(1+\sqrt{3}{)}^{ax}=(1+\sqrt{3}{)}^y$$ である。よって $$(1+\sqrt{3}{)}^{ax+3}=(1+\sqrt{3}{)}^y$$ となる。底$1+\sqrt{3}$は1より大きいので、指数を比較して $y=ax+3$ である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
(1)(2)を連立すると $${\displaystyle \frac{a(ax+3)(x-a+1)}{x^2}}=ax+3$$ である。$a>0$, $x>0$より$ax+3>0$なので、両辺を$ax+3$で割ることができる。すると $x^2=a(x-a+1)$ である。すなわち $x^2-ax+a^2-a=0$ を得る。

この2次方程式の判別式は $D=a^2-4(a^2-a)=a(4-3a)$ である。$a>0$なので、実数解をもつためには $$0<a\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$$ が必要である。

解は $$x={\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a(4-3a)}}{2}}$$ である。ここで、$0<a<1$のときは積$a^2-a<0$なので、2解のうち正の解は $$x={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a(4-3a)}}{2}}$$ のみである。$a=1$のときは方程式が $x^2-x=0$ となり、解は$x=0,1$であるが、どちらも条件$x>0,x\mathrm{\ne }1$に合わない。$$1<a<{\displaystyle \frac{4}{3}}$$のときは2解とも正であり、$x=1$になることもない。$$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$$のときは重解 $$x={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

また、得られた解では $$x-a+1={\displaystyle \frac{x^2}{a}}>0$$ であるから、第1式の真数条件も満たされる。したがって、連立方程式が解をもつ$a$の範囲は $$0<a<1,1<a\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。解$x$は、$0<a<1$では $$x={\displaystyle \frac{a+\sqrt{a(4-3a)}}{2}}$$ であり、$$1<a<{\displaystyle \frac{4}{3}}$$では $$x={\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a(4-3a)}}{2}}$$ の2つ、$$a={\displaystyle \frac{4}{3}}$$では $$x={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

2つの式から $y$ を消去して得る上に開く放物線 $F_a(x)$ を、$x>0$ の範囲でグラフ的に調べる。$F_a(0)$、軸、判別式、2解の積を使い、$a<1$, $a=1$, $a>1$ の3場合で有効な正の根の個数を確定する。

対数の底の変換と指数の整理から$$y={\displaystyle \frac{a(ax+3)(x-a+1)}{x^2}},y=ax+3$$を得る。$a>0,x>0$ では $ax+3>0$ なので消去でき、$$\begin{array}{cccc}& F_a(x)=x^2-ax+a^2-a=0& & \text{(1)}\end{array}$$となる。

$F_a(x)$ は上に開く放物線で、軸は $x=a\mathrm{/}2>0$ にある。実数解をもつ条件は$$D=a^2-4(a^2-a)=a(4-3a)\geqq 0,$$すなわち$$0<a\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$ここから正の根の個数をグラフの位置で分ける。$$\begin{array}{cccc}a\text{ の範囲}& F_a(0)=a(a-1)& \text{正の根}& \text{有効性}\\ 0<a<1& <0& 1\text{個}& \text{有効}\\ a=1& =0& 0,1& \text{とも無効}\\ 1<a<4\mathrm{/}3& >0& 2\text{個}& \text{とも有効}\\ a=4\mathrm{/}3& >0& \text{重根 }2\mathrm{/}3& \text{有効}\end{array}$$$a>1$ では2解の和が $a>0$、積が $a(a-1)>0$ なので、実数解はともに正である。また $(1)$ に $x=1$ を入れると$$F_a(1)=(a-1{)}^2$$だから、$x=1$ となるのは $a=1$ の場合だけである。

したがって解をもつ範囲は$$0<a<1,1<a\leqq {\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$解は$$x={\displaystyle \frac{a\pm \sqrt{a(4-3a)}}{2}}$$であり、$0<a<1$ では正符号の根だけ、$1<a<4\mathrm{/}3$ では両方、$a=4\mathrm{/}3$ では重根 $x=2\mathrm{/}3$ を採る。さらに $(1)$ から$$x-a+1={\displaystyle \frac{x^2}{a}}>0$$なので、対数の真数条件も満たされる。