名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $q=1-p$ とおく。横方向の移動は確率 $p$、縦方向の移動は確率 $q$ で起こる。

2秒後に $A$ にいるには、2回とも横方向に動くか、2回とも縦方向に動けばよい。したがって $a_2=p^2+q^2$ である。2秒後に $C$ にいるには、横方向と縦方向を1回ずつ行えばよいので $c_2=2pq$ である。

4秒後について考える。4回のうち横方向に動いた回数を $H$ とする。4秒後に $A$ にいるのは、横移動回数も縦移動回数も偶数のときであり、4秒後なのでこれは $H$ が偶数であることと同じである。よって$$a_4={}_4{\mathrm{C}}_0{q}^4+{}_4{\mathrm{C}}_2{p}^2{q}^2+{}_4{\mathrm{C}}_4{p}^4=q^4+6p^2{q}^2+p^4$$である。一方、$C$ にいるのは横移動回数が奇数のときなので $$c_4={}_4{\mathrm{C}}_{1}p{q}^3+{}_4{\mathrm{C}}_3{p}^{3}q=4pq(q^2+p^2)$$ である。

(2) $2n$ 秒後の横移動回数を $H$ とする。出発点が $A$ で、合計移動回数が偶数なので、$H$ が偶数なら $A$、$H$ が奇数なら $C$ にいる。したがって $$a_{2n}=\sum _{j=0}^n{}_{2n}{\mathrm{C}}_{2j}{p}^{2j}{q}^{2n-2j}$$ である。

偶数項だけを取り出すために $$(p+q{)}^{2n}=\sum _{h=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_h{p}^h{q}^{2n-h}=1$$ と $$(q-p{)}^{2n}=\sum _{h=0}^{2n}{}_{2n}{\mathrm{C}}_h(-1{)}^h{p}^h{q}^{2n-h}$$ を加える。奇数項が消え、偶数項が2倍になるから $$2a_{2n}=1+(q-p{)}^{2n}=1+(1-2p{)}^{2n}$$ である。ゆえに $$a_{2n}={\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^{2n}}{2}}$$ である。

2秒ごとに観察すると点は $A,C$ のどちらかにいる。2秒で同じ頂点側に残る確率と反対側へ移る確率から2状態の漸化式を作り、和と差に分けて解く。(1)の4秒後の値も同じ遷移を1回反復して得る。

$q=1-p$ とおく。2秒後には点は $A$ または $C$ にいる。2秒の間に同じ方向へ2回動く確率は$$u=p^2+q^2,$$異なる方向へ1回ずつ動く確率は$$v=2pq$$であり、$u+v=1$ である。

(1)
初期値 $a_0=1,c_0=0$ から$$a_2=u=p^2+q^2,c_2=v=2pq\mathrm{.}$$さらに同じ遷移をもう一度行うので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_4}& {\displaystyle =u^2+v^2=p^4+6p^2{q}^2+q^4,}\\ {\displaystyle c_4}& {\displaystyle =2uv=4pq(p^2+q^2)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
2秒単位の遷移より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{2m+2}}& {\displaystyle =u{a}_{2m}+v{c}_{2m},}\\ {\displaystyle c_{2m+2}}& {\displaystyle =v{a}_{2m}+u{c}_{2m}\mathrm{.}}\end{array}$$従って$$a_{2m+2}+c_{2m+2}=a_{2m}+c_{2m}=1$$であり、$$a_{2m+2}-c_{2m+2}=(u-v)(a_{2m}-c_{2m})=(p-q{)}^2(a_{2m}-c_{2m})\mathrm{.}$$初期差は $a_0-c_0=1$ だから$$a_{2n}-c_{2n}=(p-q{)}^{2n}=(1-2p{)}^{2n}\mathrm{.}$$和と差から$$a_{2n}={\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^{2n}}{2}}\mathrm{.}$$