名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $\alpha$ は方程式 $x^2-px-q=0$ の解なので ${\alpha }^2=p\alpha +q$ である。ここで$$u=\left(\begin{array}{c}1\\ \alpha \end{array}\right),M=\left(\begin{array}{cc}q& p\\ pq& p^2+q\end{array}\right)$$とおく。すると$$Mu=\left(\begin{array}{c}q+p\alpha \\ pq+(p^2+q)\alpha \end{array}\right)$$である。第1成分は $q+p\alpha ={\alpha }^2$ であり、第2成分は$$pq+p^2\alpha +q\alpha =p(q+p\alpha )+q\alpha =p{\alpha }^2+q\alpha =\alpha (p\alpha +q)={\alpha }^3$$である。したがって$$Mu=\left(\begin{array}{c}{\alpha }^2\\ {\alpha }^3\end{array}\right)={\alpha }^{2}u$$である。 $P_1$ の位置ベクトルは $u$ であるから、$$\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\end{array}\right)=Mu+u=(1+{\alpha }^2)u$$である。よって $$P_2=(1+{\alpha }^2,\alpha +{\alpha }^3)$$ である。さらに$$\left(\begin{array}{c}{a}_3\\ b_3\end{array}\right)=M\{(1+{\alpha }^2)u\}+u=(1+{\alpha }^2){\alpha }^{2}u+u=(1+{\alpha }^2+{\alpha }^4)u$$だから $$P_3=(1+{\alpha }^2+{\alpha }^4,\alpha +{\alpha }^3+{\alpha }^5)$$ である。

(2)
(1)の計算より、$M^{j}u={\alpha }^{2j}u$ が成り立つ。点 $P_n$ の位置ベクトルを $v_n$ とすると、漸化式は $$v_n=M{v}_{n-1}+u,v_0=0$$ である。したがって $$v_n=u+Mu+M^{2}u+\cdots +M^{n-1}u$$ であり、$$v_n=(1+{\alpha }^2+{\alpha }^4+\cdots +{\alpha }^{2n-2})u$$ である。

よって$$P_n=(s_n,\alpha s_n),s_n=1+{\alpha }^2+{\alpha }^4+\cdots +{\alpha }^{2n-2}$$である。${\alpha }^2\mathrm{\ne }1$ のときは $$s_n={\displaystyle \frac{1-{\alpha }^{2n}}{1-{\alpha }^2}}$$ とも書ける。

(3) $P_n=(s_n,\alpha s_n)$ なので、$P_n$ が収束するためには $s_n$ が収束することが必要十分である。ここで $s_n$ は公比 ${\alpha }^2$ の等比数列の部分和である。 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1$ のとき、${\alpha }^{2n}\to 0$ だから $$s_n\to {\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^2}}$$ であり、$P_n$ は収束する。

一方、$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\geqq 1$ のときは ${\alpha }^2\geqq 1$ である。${\alpha }^2=1$ なら $s_n=n$ となって発散し、${\alpha }^2>1$ なら項が大きくなって部分和も発散する。したがって収束しない。

よって収束の必要十分条件は $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1$ であり、このとき収束先は $P({\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^2}},{\displaystyle \frac{\alpha }{1-{\alpha }^2}})$ である。

行列の固有ベクトルという言葉を使わず、$P_n=(s_n,\alpha s_n)$ と予想して漸化式へ代入する。$s_n$ の等比和だけを追えばよい。

(1)

${\alpha }^2=p\alpha +q$ である。漸化式へ $(a_0,b_0)=(0,0)$ を代入すると$$P_1=(1,\alpha )\mathrm{.}$$さらに直接計算して$$P_2=(1+{\alpha }^2,\alpha +{\alpha }^3),P_3=(1+{\alpha }^2+{\alpha }^4,\alpha +{\alpha }^3+{\alpha }^5)\mathrm{.}$$(2)$$s_n=1+{\alpha }^2+\cdots +{\alpha }^{2n-2}$$とおき、$P_n=(s_n,\alpha s_n)$ を示す。$n=1$ では明らかである。$$P_{n-1}=(s_{n-1},\alpha s_{n-1})$$ と仮定すると、第1成分は$$q{s}_{n-1}+p\alpha s_{n-1}+1={\alpha }^2{s}_{n-1}+1=s_n\mathrm{.}$$第2成分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle pq{s}_{n-1}+(p^2+q)\alpha s_{n-1}+\alpha }& {\displaystyle =\alpha (q+p\alpha )s_{n-1}+\alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\alpha }^3{s}_{n-1}+\alpha =\alpha s_n\mathrm{.}}\end{array}$$よって帰納法により$$P_n=(s_n,\alpha s_n)$$である。

(3)

$s_n$ は公比 ${\alpha }^2$ の等比数列の部分和である。したがって収束の必要十分条件は$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }<1.$$このとき$$s_n⟶{\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^2}},$$ゆえに$$P({\displaystyle \frac{1}{1-{\alpha }^2}},{\displaystyle \frac{\alpha }{1-{\alpha }^2}})$$へ収束する。