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名古屋大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験 図形と方程式・三角関数理系（後期）数学 第4問(b)

点Pの極座標(r, θ)が次の極方程式を満たす．r=2cos⁡θ+2sin⁡θここで，極方程式においては，rが負である極座標の点も考える．
すなわち，r>0のとき，極座標(−r, θ)は(r, θ+π)と同じ点を表すものとする．
次の問に答えよ．

(1) θがπ2≦θ≦πの範囲を動くとき，
点Pの軌跡を求め図示せよ．

(2) θがπ2≦θ≦πの範囲を動くとき，
∣r∣の最小値r1とそれを与えるθ1，
および∣r∣の最大値r2とそれを与えるθ2を求めよ．

(3) θが3π4≦θ≦πの範囲を動くとき，
Pが描く図形の長さを求めよ．

難易度5/ 10計算量4/ 10目安20分

図形と方程式、三角関数、積分　座標設定、軌跡、図形的解釈

方針

極方程式に x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,r2=x2+y2 を用いて直交座標へ直し、円 (x−1)2+(y−1)2=2 を得る。負の r が許されるため、θ=3π/4 を境に実際の点の向きが反対側へ移ることを追う。∣r∣ の最小最大は 2∣cos⁡θ+sin⁡θ∣ で調べ、弧長は円の中心角、または極座標の弧長公式で確認する。

解答

(1) x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ とおく。与えられた式 r=2cos⁡θ+2sin⁡θ の両辺に r をかけると r2=2rcos⁡θ+2rsin⁡θ である。したがって x2+y2=2x+2y となり、整理して (x−1)2+(y−1)2=2 を得る。軌跡は中心 (1,1)、半径 2 の円の一部である。

端点と途中の点を確認する。θ=π/2 のとき r=2 なので点は (0,2) である。θ=3π/4 のとき r=0 なので点は原点である。θ=π のとき r=−2 であり、負の極径を許す約束により、これは (2,0) を表す。

したがって、θ が π/2 から π まで動くとき、点 P は円 (x−1)2+(y−1)2=2 のうち、(0,2) から原点を通り、(2,0) に至る半円弧を描く。

(2) ∣r∣=2∣cos⁡θ+sin⁡θ∣ である。さらに cos⁡θ+sin⁡θ=2sin⁡(θ+π4) である。π/2≦θ≦π では、θ=3π/4 のとき cos⁡θ+sin⁡θ=0 となる。したがって最小値は r1=0,θ1=3π4 である。

また区間の端では ∣r∣=2 である。cos⁡θ+sin⁡θ はこの区間で 1 から 0 を通って −1 へ変化するので、絶対値の最大値は両端でとる。よって r2=2,θ2=π2, π である。

(3) 3π/4≦θ≦π では、点 P は上の円の原点から (2,0) までの弧を描く。中心は (1,1) で半径は 2 である。原点に向かう半径ベクトルは (−1,−1)、(2,0) に向かう半径ベクトルは (1,−1) であり、この2つのなす角は π/2 である。したがって弧の長さは 2⋅π2=π2 である。

別解

解法2

方針

円であることと指定区間の弧を直交座標で確認する。弧長については円の中心角を使わず、極方程式の弧長公式へ r と dr/dθ を代入する。被積分関数が定数 22 になるため、積分区間の長さだけで答えが出る。

解答

(1) x=rcos⁡θ, y=rsin⁡θ として極方程式に r を掛けるとx2+y2=2x+2y,従って(x−1)2+(y−1)2=2.θ=π/2,3π/4,π に対応する点は順に(0,2),(0,0),(2,0)である。最後は r=−2 であることに注意する。よってこの3点を順に通る半円弧である。

(2) ∣r∣=2∣cos⁡θ+sin⁡θ∣である。区間内では θ=3π/4 で0となり、両端で2となるからr1=0,θ1=3π4,r2=2,θ2=π2, π.(3)r=2(cos⁡θ+sin⁡θ),drdθ=2(cos⁡θ−sin⁡θ).従ってr2+(drdθ)2=8.求める弧長は∫3π/4πr2+(drdθ)2 dθ=∫3π/4π22 dθ=π2.

総評

負の極径を含む極方程式の軌跡問題で、想定時間は20分程度。直交座標化すると円であることはすぐ分かるが、指定された θ の範囲で円のどの弧を動くかは、r の符号を見ないと誤る。特に θ=π で r=−2 となり、点は (−2,0) ではなく (2,0) である。(3)は中心角 π/2 の円弧として出すのが最短で、極座標の弧長公式は検算として有効である。

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出典: 名古屋大学 1998年度 後期 理系 第4問(b)。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。