名大 1999年度文系数学第3問(a)（ベクトル・図形と方程式）｜問題・解答・解説

方針

任意のベクトル $\vec{p}$ に対する恒等式なので、 $\vec{p} = (x, y)$ とおいて $x^{2}, x y, y^{2}$ の係数を比較する。得られた条件は、2つの行ベクトル $(a_{1}, b_{1})$ , $(a_{2}, b_{2})$ が互いに直交する単位ベクトルであることを表す。そこから $(a_{1}, a_{2})$ が単位円周上にある必要十分条件を取り出し、対応する $\vec{b}$ は $\vec{a}$ を90度回転した2通りで与える。

解答

(1) $\vec{p} = (x, y)$ とおく。条件（＊）は任意の実数 $x, y$ に対して $(a_{1} x + a_{2} y)^{2} + (b_{1} x + b_{2} y)^{2} = x^{2} + y^{2}$ が成り立つことを意味する。左辺を展開すると $(a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) x^{2} + 2 (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) x y + (a_{2}^{2} + b_{2}^{2}) y^{2}$ である。これが常に $x^{2} + y^{2}$ に等しいので、係数比較により $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 1,$ $a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = 1,$ $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ を得る。

この3式から $a_{1}, a_{2}$ の条件を取り出す。第1式、第2式より $b_{1}^{2} = 1 - a_{1}^{2}, b_{2}^{2} = 1 - a_{2}^{2}$ であり、第3式を2乗すると $b_{1}^{2} b_{2}^{2} = a_{1}^{2} a_{2}^{2}$ である。したがって $(1 - a_{1}^{2}) (1 - a_{2}^{2}) = a_{1}^{2} a_{2}^{2}$ となり、整理して $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1$ を得る。よって点 $(a_{1}, a_{2})$ は単位円周上になければならない。

逆に、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1$ ならば、たとえば $\vec{b} = (a_{2}, - a_{1})$ とおくと $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1,$ $a_{2}^{2} + b_{2}^{2} = a_{2}^{2} + a_{1}^{2} = 1,$ $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = a_{1} a_{2} + a_{2} (- a_{1}) = 0$ となり、条件（＊）を満たす。したがって存在範囲は $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1$ で表される円周である。

(2) $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1$ とする。上で見たように $\vec{b} = (a_{2}, - a_{1})$ は条件を満たす。また符号を全体に変えた $\vec{b} = (- a_{2}, a_{1})$ も同じ3つの係数条件を満たす。

実際、 $\vec{b}$ は $\vec{a}$ と直交し、長さが1であればよい。平面上で単位ベクトル $\vec{a}$ に直交する単位ベクトルは2つだけなので、求めるベクトルは $\vec{b} = (a_{2}, - a_{1}), (- a_{2}, a_{1})$ である。

別解

解法2

方針

$\vec{p} \mapsto (\vec{a} \cdot \vec{p}, \vec{b} \cdot \vec{p})$ という写像を考える。条件は全てのベクトルの長さを保つことを意味する。内積も保つことを和の長さから導き、標準基底の像が直交単位ベクトルになることから $\vec{a}, \vec{b}$ の形を決める。

解答

(1)
写像 $T (\vec{p}) = (\vec{a} \cdot \vec{p}, \vec{b} \cdot \vec{p})$ を考える。条件（＊）は $∣ T (\vec{p}) ∣ = ∣ \vec{p} ∣$ が全ての $\vec{p}$ で成り立つことを表す。

任意の $\vec{p}, \vec{q}$ に対し $\begin{aligned} 2 T (\vec{p}) \cdot T (\vec{q}) & = ∣ T (\vec{p} + \vec{q}) ∣^{2} - ∣ T (\vec{p}) ∣^{2} - ∣ T (\vec{q}) ∣^{2} \\ = ∣ \vec{p} + \vec{q} ∣^{2} - ∣ \vec{p} ∣^{2} - ∣ \vec{q} ∣^{2} \\ = 2 \vec{p} \cdot \vec{q} \end{aligned}$ だから、 $T$ は内積も保つ。

標準の単位ベクトルを ${\vec{e}}_{1} = (1, 0)$ 、 ${\vec{e}}_{2} = (0, 1)$ とすると $T ({\vec{e}}_{1}) = (a_{1}, b_{1}), T ({\vec{e}}_{2}) = (a_{2}, b_{2})$ は互いに直交する単位ベクトルである。平面では、第2のベクトルは第1を正または負の向きへ $90^{\circ}$ 回したものなので $(a_{2}, b_{2}) = (- b_{1}, a_{1}) または (b_{1}, - a_{1}) .$ どちらの場合も $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 1$ であり、点 $(a_{1}, a_{2})$ の範囲は単位円周である。

(2)
逆に $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1$ なら $\vec{b} = (a_{2}, - a_{1}) または (- a_{2}, a_{1})$ と取れば、 $\vec{a}, \vec{b}$ は直交単位ベクトルとなり（＊）を満たす。

総評

任意のベクトルに対する恒等式なので、係数比較または長さを保つ写像として処理できる。存在範囲は円板ではなく単位円周である。必要条件を出しただけでなく、 $\vec{b} = (a_{2}, - a_{1})$ または $(- a_{2}, a_{1})$ を実際に構成して十分性を確認した。2通りの符号を落とさないことが重要である。

出典: 名古屋大学 1999年度前期文系第3問(a)。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第3問(a)

方針

解答

別解

方針

解答

総評

名古屋大学 1999年度前期日程第2次学力試験ベクトル・図形と方程式文系数学第3問(a)