名古屋大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }=1$ なので $z_0=e^{i\varphi }$ とおく。すると $$\overline{z_0}=e^{-i\varphi }$$ であり、$$z_1=e^{i\alpha }(e^{i\varphi }+E{e}^{-i\varphi })=e^{i\varphi }{e}^{i\alpha }(1+E{e}^{-2i\varphi })$$である。$z_1$ が $z_0$ の実数倍であるとは、ある実数 $\lambda$ に対して $z_1=\lambda z_0$ となることである。上の式から、これは $$e^{i\alpha }(1+E{e}^{-2i\varphi })=\lambda$$ すなわち $$1+E{e}^{-2i\varphi }=\lambda e^{-i\alpha }$$ と同値である。

左辺 $1+E{e}^{-2i\varphi }$ は、$\varphi$ が動くと中心 $1$、半径 $E$ の円周を動く。$E>1$ なので、この円は原点を内部に含む。したがって原点を通り偏角 $-\alpha$ の方向をもつ直線とこの円は2点で交わる。交点に対応する $\varphi$ を取れば、上の等式を満たす実数 $\lambda$ が存在する。よってそのような $z_0$ は存在する。

(2)
(1)の条件を満たす $z_0$ について $z_1=\lambda z_0$ と書ける。$\lambda$ は実数である。このとき $$z_{n+1}=e^{i\alpha }(z_n+E\overline{z_n})$$ において、もし $z_n={\lambda }^n{z}_0$ なら $\lambda$ が実数であることから $$z_{n+1}={\lambda }^n{e}^{i\alpha }(z_0+E\overline{z_0})={\lambda }^{n+1}{z}_0$$ となる。したがって $z_n={\lambda }^n{z}_0$ である。よって $\mathrm{\mid }{z}_n\mathrm{\mid }\to 0$ となるための必要十分条件は、(1)で可能なすべての $\lambda$ について $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }<1$ である。 $\lambda$ は $$1+E{e}^{-2i\varphi }=\lambda e^{-i\alpha }$$ を満たすので $$\mathrm{\mid }\lambda e^{-i\alpha }-1\mathrm{\mid }=E$$ である。これを2乗すると $$(\lambda \cos \alpha -1{)}^2+(\lambda \sin \alpha {)}^2=E^2$$ より $${\lambda }^2-2\lambda \cos \alpha +1=E^2$$ である。したがって可能な $\lambda$ は $$\lambda =\cos \alpha \pm \sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }$$ の2つである。

この2つがともに絶対値 $1$ 未満であるためには $$-1<\cos \alpha -\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }$$ かつ $$\cos \alpha +\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }<1$$ である。すなわち $$\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }<1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }$$ が必要十分である。両辺は正でなければならないので、特に $\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }<1$ である。両辺を2乗して $$E^2-{\sin }^2\alpha <(1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }{)}^2$$ となる。$${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$$ を用いて整理すると $E^2<2(1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid })$ である。

もともと $E>1$ であるから、求める範囲は $$1<E<\sqrt{2(1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid })}$$ である。ただしこの範囲が空でないためには $\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ が必要である。$\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }\geqq 1\mathrm{/}2$ のときは条件を満たす $E>1$ は存在しない。

$z=x+iy$ として漸化式を実2次行列で表す。
$z_1$ が $z_0$ の実数倍になる条件は実固有ベクトルの存在であり、
固有値2個を求めれば、すべての該当初期値で0へ収束する条件が同時に判定できる。

(1)
$z=x+iy$ とすると、写像は$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)⟼M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right),M=\left(\begin{array}{cc}(1+E)\cos \alpha & (E-1)\sin \alpha \\ (1+E)\sin \alpha & (1-E)\cos \alpha \end{array}\right)\mathrm{.}$$特性方程式は$${\lambda }^2-2\lambda \cos \alpha +1-E^2=0.$$判別式は$$4(E^2-{\sin }^2\alpha )>0$$なので相異なる2つの実固有値と実固有ベクトルをもつ。
固有ベクトルを長さ1に選べば、対応する $z_0$ は $\mathrm{\mid }{z}_0\mathrm{\mid }=1$ で
$z_1=\lambda z_0$ を満たす。

(2)
固有値は$${\lambda }_{\pm }=\cos \alpha \pm \sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }\mathrm{.}$$固有ベクトルから始めれば $z_n={\lambda }_{\pm }^n{z}_0$ だから、
全ての該当 $z_0$ で収束する条件は$$\mathrm{\mid }{\lambda }_{+}\mathrm{\mid }<1,\mathrm{\mid }{\lambda }_{-}\mathrm{\mid }<1.$$これは$$\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }<1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }$$と同値であり、平方して$$E^2<2(1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid })\mathrm{.}$$もともと $E>1$ なので$$1<E<\sqrt{2(1-\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid })}\mathrm{.}$$この区間が空でない条件は$$\mathrm{\mid }\cos \alpha \mathrm{\mid }<{\displaystyle \frac{1}{2}}⟺{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\alpha <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}$$この角度範囲外では該当する $E$ は存在しない。