名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式理系数学 第4問(b)

(1) $\alpha$ が解であるから $${\alpha }^3+p{\alpha }^2+q\alpha +r=0$$ である。係数 $p,q,r$ はすべて実数なので、両辺の共役を取ると $${\bar{\alpha }}^3+p{\bar{\alpha }}^2+q\bar{\alpha }+r=0$$ となる。したがって $\bar{\alpha }$ も方程式の解である。$\alpha$ は虚数解なので $$\bar{\alpha }\mathrm{\ne }\alpha$$ である。また虚数解は相異なる2つ $\alpha ,\beta$ だけであるから $\beta =\bar{\alpha }$ である。

(2)
(1)より $$\alpha =u+vi,\beta =u-vi$$ とおける。ただし $u,v$ は実数で $v\mathrm{\ne }0$ である。$\alpha$ と $\beta$ の距離は $2\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$ であり、正三角形の一辺の長さが $\sqrt{3}$ だから $$2\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=\sqrt{3},v^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

第3の頂点 $\gamma$ は実軸上にあり、$\alpha ,\beta$ を結ぶ垂直二等分線も実軸である。正三角形の高さは $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot \sqrt{3}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ なので $$\gamma =u+{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{または}\gamma =u-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。

また $$\alpha \beta =u^2+v^2,\beta \gamma +\gamma \alpha =2u\gamma$$ だから、条件 $$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3$$ は $u^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}+2u\gamma =3$ である。

まず $\gamma =u+3\mathrm{/}2$ のとき $$u^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}+2u(u+{\displaystyle \frac{3}{2}})=3$$ であり、整理して $4u^2+4u-3=0$ となる。したがって $$u={\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。対応する $\gamma$ はそれぞれ $\gamma =2,0$ である。

次に $\gamma =u-3\mathrm{/}2$ のとき $$u^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}+2u(u-{\displaystyle \frac{3}{2}})=3$$ であり、整理して $4u^2-4u-3=0$ となる。したがって $$u={\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。対応する $\gamma$ はそれぞれ $\gamma =0,-2$ である。

解と係数の関係より $$p=-(\alpha +\beta +\gamma )=-(2u+\gamma ),$$ $$q=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =3,$$ $$r=-\alpha \beta \gamma =-(u^2+v^2)\gamma$$ である。4つの場合を代入すると $$(p,q,r)=(-3,3,-2),(3,3,0),(-3,3,0),(3,3,2)$$ である。したがって求める実数の組は $(3,3,0),(-3,3,-2),(3,3,2),(-3,3,0)$ である。

共役根を $u\pm vi$ とし、正三角形の向きを
$\epsilon =\pm 1$ を用いて $\gamma =u+3\epsilon \mathrm{/}2$ と統一する。
条件式を1本の二次方程式にし、4組の根を直接展開して係数を読む。

(1)
実係数多項式 $f(x)$ では$$\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })\mathrm{.}$$$f(\alpha )=0$ だから $f(\bar{\alpha })=0$ である。
$\alpha$ は非実数で、非実根は相異なる $\alpha ,\beta$ の2個だけなので$$\beta =\bar{\alpha }\mathrm{.}$$(2)$$\alpha =u+vi,\beta =u-vi$$とおく。辺 $\alpha \beta$ の長さから$$2\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=\sqrt{3},v^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$正三角形の第3頂点は実軸上にあり、$$\gamma =u+{\displaystyle \frac{3}{2}}\epsilon (\epsilon =\pm 1)$$と表せる。条件 $$\alpha \beta +\gamma (\alpha +\beta )=3$$ は$$u^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}+2u(u+{\displaystyle \frac{3}{2}}\epsilon )=3,$$すなわち$$4u^2+4\epsilon u-3=0.$$よって$$(\epsilon ,u,\gamma )=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},2),(1,-{\displaystyle \frac{3}{2}},0),(-1,{\displaystyle \frac{3}{2}},0),(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},-2)\mathrm{.}$$各場合に$$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=\{x^2-2ux+(u^2+{\displaystyle \frac{3}{4}})\}(x-\gamma )$$を展開する。得られる係数は$$(p,q,r)=(-3,3,-2),(3,3,0),(-3,3,0),(3,3,2)\mathrm{.}$$したがってこの4組がすべてである。