名古屋大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $x=c_n$ における接線の方程式は $y=f^{\mathrm{\prime }}(c_n)(x-c_n)+f(c_n)$ である。この接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $c_{n+1}$ とすると、その点では $y=0$ だから $$0=f^{\mathrm{\prime }}(c_n)(c_{n+1}-c_n)+f(c_n)$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(c_n)\mathrm{\ne }0$ より $$f^{\mathrm{\prime }}(c_n)(c_{n+1}-c_n)=-f(c_n)$$ となるので $$c_{n+1}=c_n-{\displaystyle \frac{f(c_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(c_n)}}$$ である。

(2)
まず漸化式を具体的に求める。$x\geqq 0$ では $$f(x)=x(x-1),f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-1$$ だから、$x\mathrm{\ne }1\mathrm{/}2$ のとき $$T(x)=x-{\displaystyle \frac{x(x-1)}{2x-1}}={\displaystyle \frac{x^2}{2x-1}}$$ である。$x<0$ では $$f(x)=-x(x+1),f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x-1$$ だから、$x\mathrm{\ne }-1\mathrm{/}2$ のとき $$T(x)=x-{\displaystyle \frac{-x(x+1)}{-2x-1}}={\displaystyle \frac{x^2}{2x+1}}$$ である。ここで $c_{n+1}=T(c_n)$ である。

(a) $c_1>0$ のとき $$c_2={\displaystyle \frac{c_1^2}{2c_1-1}}$$ である。分子は正なので、$c_2<0$ となるのは $2c_1-1<0$ すなわち $0<c_1<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。 $c_1<0$ のとき $$c_2={\displaystyle \frac{c_1^2}{2c_1+1}}$$ である。分子は正なので、$c_2>0$ となるのは $2c_1+1>0$ すなわち $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<c_1<0$ のときである。$c_1=0$ では符号は異ならず、$c_1=\pm 1\mathrm{/}2$ では漸化式が定義できない。よって $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<c_1<0,0<c_1<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

(b)
任意の $n$ について $c_{n+1}+c_n=0$ となるには、まず $c_2=-c_1$ が必要である。 $c_1>0$ のとき $${\displaystyle \frac{c_1^2}{2c_1-1}}=-c_1$$ である。$c_1\mathrm{\ne }0$ だから両辺を $c_1$ で割って $${\displaystyle \frac{c_1}{2c_1-1}}=-1$$ となり、$c_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ を得る。 $c_1<0$ のとき $${\displaystyle \frac{c_1^2}{2c_1+1}}=-c_1$$ であり、同様に $${\displaystyle \frac{c_1}{2c_1+1}}=-1$$ から $c_1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ を得る。

実際、$c_n=1\mathrm{/}3$ なら $$T\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり、$c_n=-1\mathrm{/}3$ なら $$T(-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。したがってこの2つの値では $1\mathrm{/}3$ と $-1\mathrm{/}3$ が交互に現れ、任意の $n$ で $c_{n+1}+c_n=0$ が成り立つ。よって $c_1=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

(c) $\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }<1\mathrm{/}2$ で $c_n\mathrm{\ne }0$ のとき、(a)で見たように符号は反転し、絶対値は $$\mathrm{\mid }{c}_{n+1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{c}_n{\mathrm{\mid }}^2}{1-2\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }}}$$ となる。$r=\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ とおくと、$0<r<1\mathrm{/}2$ において $${\displaystyle \frac{r^2}{1-2r}}<r$$ は $r<1-2r$ すなわち $r<{\displaystyle \frac{1}{3}}$ と同値である。また $r=1\mathrm{/}3$ では絶対値が変わらず、$r>1\mathrm{/}3$ では絶対値が大きくなる。

したがって、$\mathrm{\mid }{c}_1\mathrm{\mid }<1\mathrm{/}3$ ならば $\mathrm{\mid }{c}_{n+1}\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ が続き、$\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ は0以上の単調減少列になる。極限を $L$ とすると $0\leqq L<1\mathrm{/}3$ であり、漸化式の絶対値の式から $$L={\displaystyle \frac{L^2}{1-2L}}$$ を満たす。これより $L(1-3L)=0$ だが、$L<1\mathrm{/}3$ だから $L=0$ である。よって $c_n\to 0$ である。$c_1=0$ の場合も明らかに $c_n=0$ が続くので含まれる。

一方、$\mathrm{\mid }{c}_1\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}3$ では(b)のように $1\mathrm{/}3$ と $-1\mathrm{/}3$ の2周期になり、0には収束しない。$1\mathrm{/}3<\mathrm{\mid }{c}_1\mathrm{\mid }<1\mathrm{/}2$ では、少なくとも次の絶対値がより大きく、しかも $1\mathrm{/}3$ より小さくなることはない。実際、$\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ が $(1\mathrm{/}3,1\mathrm{/}2)$ にある限り次の絶対値は増加し、$\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }\geqq 1\mathrm{/}2$ になると次項も $\mathrm{\mid }{c}_{n+1}\mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ であり、0に近づく範囲には戻らない。また $\mathrm{\mid }{c}_1\mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ の場合も同様に $\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }>1\mathrm{/}2$ が続くので、0には収束しない。$c_1=\pm 1\mathrm{/}2$ では漸化式が定義できない。

以上より、数列が0に収束する初項の範囲は $$-{\displaystyle \frac{1}{3}}<c_1<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

漸化式の絶対値だけを $r_n=\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ として追う。$r<1\mathrm{/}2$ では $h(r)=r^2\mathrm{/}(1-2r)$ となり、しきい値 $1\mathrm{/}3$ の内側では一様な縮小率を持つことを示す。外側の領域が0へ戻れないことも不変領域と単調性で示す。

(1)
接線へ $y=0$ を代入すれば$$c_{n+1}=c_n-{\displaystyle \frac{f(c_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(c_n)}}$$を得る。

(2)
写像 $T$ は$$T(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2}{2x-1}}& (x\geqq 0,x\mathrm{\ne }1\mathrm{/}2),\\ {\displaystyle \frac{x^2}{2x+1}}& (x<0,x\mathrm{\ne }-1\mathrm{/}2)\end{array}$$である。

(a)
分子は正なので、$x$ と $T(x)$ の符号が異なる範囲は$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<0\text{または}0<x<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(b)
$T(x)=-x$ を正負それぞれで解くと$$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$実際に2値は互いに移り合うので、任意の $n$ で $c_{n+1}+c_n=0$ となる。

(c)
$r_n=\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }$ と置く。$0<r_n<1\mathrm{/}2$ なら符号が反転し$$r_{n+1}=h(r_n),h(r)={\displaystyle \frac{r^2}{1-2r}}\mathrm{.}$$$0<r<1\mathrm{/}3$ では$${\displaystyle \frac{h(r)}{r}}={\displaystyle \frac{r}{1-2r}}<1.$$さらに $h(r)<r$ だから、$r_1<1\mathrm{/}3$ なら全ての $r_n\leqq r_1$ である。従って$$r_{n+1}\leqq {\displaystyle \frac{r_1}{1-2r_1}}{r}_n$$で、右の係数は1未満である。ゆえに $r_n\to 0$ となる。

$r=1\mathrm{/}3$ では $h(r)=r$ で2周期になる。$1\mathrm{/}3<r<1\mathrm{/}2$ では $h(r)>r$ であり、0へ近づかない。もしこの区間にとどまれば増加極限は $h(L)=L$ を満たす必要があるが、正の解は $L=1\mathrm{/}3$ だけなので矛盾し、いずれ $1\mathrm{/}2$ 以上へ出る。$r>1\mathrm{/}2$ では$$\mathrm{\mid }T(x)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{r^2}{2r-1}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから、この領域から $(-1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$ へ戻らない。$r=1\mathrm{/}2$ では次項が定義できない。

従って $c_n\to 0$ となる初項は$$-{\displaystyle \frac{1}{3}}<c_1<{\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。