名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・場合の数理系数学 第4問(a)

(1)

6乗根を$$1,-1,{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$と並べる。

それぞれの出現回数を $a,0,c,d,e,f$ とおく。ここで $-1$ は含まれないので、その個数は0である。また $1$ が含まれるので $a>0$ である。

和が0であることから、虚部を比較して $c+d=e+f$ を得る。また実部を2倍して比較すると $2a+c-d-e+f=0$ である。

まず $-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ が含まれないと仮定する。これは $d=0$ を意味する。虚部の式から $c=e+f$ である。これを実部の式に代入すると $2a+(e+f)-e+f=0$ すなわち $2a+2f=0$ となる。しかし $a>0$、$f\geqq 0$ なのでこれは不可能である。したがって $-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ は必ず含まれる。

同様に、$-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ が含まれない、すなわち $e=0$ と仮定すると、虚部の式から $f=c+d$ である。これを実部の式に代入して $2a+c-d+(c+d)=0$ すなわち $2a+2c=0$ となり、やはり $a>0$ に反する。よって $-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$ も必ず含まれる。

(2) $n=6$ とし、(1)と同じ記号を用いる。条件は $$a+c+d+e+f=6,c+d=e+f,2a+c-d-e+f=0$$ である。

虚部の式から $e=c+d-f$ である。これを実部の式に代入すると $2a+c-d-(c+d-f)+f=0$ より $a+f=d$ である。さらに $e=c+d-f=c+a$ である。

したがって個数の総和は $$a+c+(a+f)+(a+c)+f=3a+2c+2f=6$$ である。$a>0$ なので、$a$ は正の整数である。上式から $a$ は偶数でなければならず、可能なのは $$a=2,c=0,f=0$$ だけである。したがって $d=2,e=2$ である。

つまり、6個の項は$$1,1,-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$に限られる。これらを数列として並べる通り数は、同じものが2個ずつあるので $${\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=90$$ である。

原始6乗根 $\omega$ に対する
${\omega }^2-\omega +1=0$ を使い、6種類の根を $1,\omega$ の一次式で表す。
和の定数項と $\omega$ の係数を比較して個数を決める。

$$\omega ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$ とする。
6乗根を $1,\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4,{\omega }^5$ とし、
その出現回数を $a_0,\dots ,a_5$ と置く。
条件より$$a_3=0,a_0>0.$$${\omega }^2-\omega +1=0$ から$${\omega }^2=\omega -1,{\omega }^3=-1,{\omega }^4=-\omega ,{\omega }^5=1-\omega \mathrm{.}$$したがって和が0である条件は$$a_0-a_2-a_3+a_5=0,a_1+a_2-a_4-a_5=0.$$(1)

${\omega }^2$ が含まれないなら $a_2=0$ であり、
第1式は $a_0+a_5=0$ となって $a_0>0$ に反する。
また ${\omega }^4$ が含まれないなら $a_4=0$ である。
第2式から $a_5=a_1+a_2$、これを第1式へ入れると$$a_0+a_1=0$$となり、やはり $a_0>0$ に反する。
よって$${\omega }^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i,{\omega }^4=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$はいずれも含まれる。

(2)

$a_3=0$ のもとで2式を解くと$$a_2=a_0+a_5,a_4=a_0+a_1\mathrm{.}$$総数が6だから$$3a_0+2a_1+2a_5=6.$$$a_0$ は正の整数なので、唯一の可能性は$$a_0=2,a_1=a_5=0,a_2=a_4=2.$$したがって3種類が2個ずつであり、数列の個数は$${\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}}=90$$である。