名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面理系数学 第4問(b)

(1) $z=x+yi$ とおく。このとき $$z+i=x+(y+1)i,z-i=x+(y-1)i$$ であるから、$$\mathrm{\mid }z+i{\mathrm{\mid }}^2=x^2+(y+1{)}^2,\mathrm{\mid }z-i{\mathrm{\mid }}^2=x^2+(y-1{)}^2$$ である。 $\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$ なら、両辺を2乗して $x^2+(y+1{)}^2=x^2+(y-1{)}^2$ となる。これを整理すると $4y=0$ であるから $y=0$ である。したがって $z\text{ は実数である}$ ことが示された。

(2) $z$ が実軸上を動くとき、$z+i$ は虚部が1の直線 $\mathrm{Im}w=1$ 上を動く。この直線は上半平面にあり、原点を通らない。したがって偏角は $0^{\circ }$ より大きく ${180}^{\circ }$ より小さい。

また、$z\to +\mathrm{\infty }$ で偏角は $0^{\circ }$ に近づき、$z\to -\mathrm{\infty }$ で偏角は ${180}^{\circ }$ に近づくが、どちらにも等しくならない。よって範囲は $$0^{\circ }<\arg (z+i)<{180}^{\circ }$$ である。

(3) 方程式 $(z+i{)}^9=(z-i{)}^9$ の両辺の絶対値を比べると $\mathrm{\mid }z+i{\mathrm{\mid }}^9=\mathrm{\mid }z-i{\mathrm{\mid }}^9$ である。したがって $\mathrm{\mid }z+i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-i\mathrm{\mid }$ であり、(1) より $z$ は実数である。 $\theta =\arg (z+i)$ とおくと、(2) より $$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ である。$z$ は実数なので、$z-i$ は $z+i$ の共役であり、その偏角は ${360}^{\circ }-\theta$ である。

9乗が等しいためには、偏角が ${360}^{\circ }$ の整数倍だけ違えばよい。したがって $9\theta \equiv 9({360}^{\circ }-\theta )(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{360}^{\circ })$ である。これは $18\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{360}^{\circ })$ と同値だから、$\theta ={20}^{\circ }k$ となる。$$0^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ より $k=1,2,3,4,5,6,7,8$ である。

逆に、これらの偏角をもつ実数 $z$ は実際に存在し、そのとき $z+i$ と $z-i$ は共役で、上の合同式を満たすので9乗は等しい。よって求める偏角は$${20}^{\circ },{40}^{\circ },{60}^{\circ },{80}^{\circ },{100}^{\circ },{120}^{\circ },{140}^{\circ },{160}^{\circ }$$である。

9乗方程式を9乗根の比に直す。$(z+i)\mathrm{/}(z-i)$ は1以外の9乗根であり、それぞれについて $z$ を解くと実数 $z=\cot (k\pi \mathrm{/}9)$ が得られる。そこから $z+i$ の偏角を直接読む。

(1)
$z=x+yi$ とおくと$$\mathrm{\mid }z+i{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }z-i{\mathrm{\mid }}^2=(y+1{)}^2-(y-1{)}^2=4y\mathrm{.}$$したがって等距離条件から $y=0$、すなわち $z$ は実数である。

(2)
$z+i=z+1\cdot i$ は上半平面の水平直線上を動くので$$0^{\circ }<\arg (z+i)<{180}^{\circ }\mathrm{.}$$(3)
$z-i\mathrm{\ne }0$ であり$${\left({\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}\right)}^9=1.$$比は1にならないから$${\displaystyle \frac{z+i}{z-i}}=e^{2\pi ki\mathrm{/}9}(k=1,2,\dots ,8)\mathrm{.}$$$\varphi =k\pi \mathrm{/}9$ とおくと、これを $z$ について解いて$$z=-i{\displaystyle \frac{1+e^{2i\varphi }}{1-e^{2i\varphi }}}=\cot \varphi \mathrm{.}$$よって$$z+i={\displaystyle \frac{\cos \varphi +i\sin \varphi }{\sin \varphi }}$$であり、$0<\varphi <\pi$ だから偏角は $\varphi$ である。したがって$${20}^{\circ },{40}^{\circ },{60}^{\circ },{80}^{\circ },{100}^{\circ },{120}^{\circ },{140}^{\circ },{160}^{\circ }$$を得る。