名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式理系数学 第4問(a)

(1) $$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AD}=\vec{v}$$ とおく。このとき $$AB=CD=\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=a,BC=AD=\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }=b$$ である。また、対角線は $$AC=\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}\mathrm{\mid }=d,BD=\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}\mathrm{\mid }=c$$ である。

したがって $$c^2+d^2=\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。右辺を内積で展開すると $$\mathrm{\mid }\vec{v}-\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}+\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2$$ であり、$$\mathrm{\mid }\vec{u}+\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+2\vec{u}\cdot \vec{v}+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。足し合わせると内積の項が消えて $$c^2+d^2=2\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=2a^2+2b^2$$ である。よって $$a^2+b^2={\displaystyle \frac{1}{2}}(c^2+d^2)$$ が成り立つ。

(2)
次の4点を空間内にとる。$$P_1=(x,y,z),P_2=(x,-y,-z),P_3=(-x,y,-z),P_4=(-x,-y,z)$$ただし$$x^2={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{8}},y^2={\displaystyle \frac{c^2+a^2-b^2}{8}},z^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{8}}$$とする。

条件 $0<a\leqq b\leqq c$ と $a^2+b^2>c^2$ より、$z^2>0$ である。また $$b^2+c^2-a^2>0,c^2+a^2-b^2>0$$ も明らかなので、$x,y,z$ は正に選べる。

この4点の距離を調べる。例えば $$P_1{P}_2=2\sqrt{y^2+z^2}$$ であり、$$y^2+z^2={\displaystyle \frac{c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{8}}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ だから $P_1{P}_2=a$ である。同様に $$P_1{P}_3=2\sqrt{x^2+z^2}=b,P_1{P}_4=2\sqrt{x^2+y^2}=c$$ である。対称性により他の辺もそれぞれ $a,b,c$ のいずれかになり、各面の三角形は辺の長さ $a,b,c$ をもつ。

したがって、各面の三角形の辺の長さが $a,b,c$ である四面体を実際に作ることができる。

(1) は中線定理を平行四辺形へ2回適用する。(2)は3辺 $x,y,z$ の直方体から互い違いの4頂点を選び、各面が同じ3種類の対角線をもつようにする。

(1)

平行四辺形の対角線の交点を $M$ とする。三角形 $ABD$ で中線 $AM$ に中線定理を用いると$$A{B}^2+A{D}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)\mathrm{.}$$$AM=d\mathrm{/}2$, $BM=c\mathrm{/}2$ だから$$a^2+b^2=2({\displaystyle \frac{d^2}{4}}+{\displaystyle \frac{c^2}{4}})={\displaystyle \frac{1}{2}}(c^2+d^2)\mathrm{.}$$(2)

辺の長さが $2x,2y,2z$ の直方体を考え、互い違いの4頂点を選ぶ。この4点が作る四面体では、向かい合う辺の長さがそれぞれ$$2\sqrt{y^2+z^2},2\sqrt{z^2+x^2},2\sqrt{x^2+y^2}$$となる。

そこで$$x^2={\displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{8}},y^2={\displaystyle \frac{c^2+a^2-b^2}{8}},z^2={\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{8}}$$と定める。仮定 $a^2+b^2>c^2$ により $z^2>0$ である。また $0<a\leqq b\leqq c$ から他の2式も正である。

このとき上の3種類の辺長は $a,b,c$ となる。各面は各種類を1本ずつ含むため、4つの面はすべて辺長 $a,b,c$ の三角形である。よって求める四面体が実際に存在する。