名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $P$ は角 $AOB$ の二等分線上にある。$P$ から直線 $OA$, $OB$ へ下ろした垂線の長さは等しいので、三角形 $OAP$ と $OBP$ の面積を比べると$${\displaystyle \frac{[OAP]}{[OBP]}}={\displaystyle \frac{OA}{OB}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }}}$$である。一方、2つの三角形は、底辺をそれぞれ $AP$, $PB$ と見れば、どちらも高さは点 $O$ から直線 $AB$ への距離で共通である。したがって $${\displaystyle \frac{[OAP]}{[OBP]}}={\displaystyle \frac{AP}{PB}}$$ である。よって $$AP:PB=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }$$ となる。したがって $P$ は線分 $AB$ を $\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }$ に内分する点である。

(2) $$A=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid },B=\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }$$ とおく。(1)より $AP:PB=A:B$ であるから、内分点公式により $$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{B\overrightarrow{a}+A\overrightarrow{b}}{A+B}}$$ である。

点 $Q$ は $P$ から直線 $OA$ へ下ろした垂線の足なので、$OQ$ は $\overrightarrow{OP}$ の $\overrightarrow{a}$ 方向への射影の長さである。よって$$OQ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{a}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }}}$$である。ここに $\overrightarrow{OP}$ の式を代入すると$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{B\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2+A(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}{A+B}}$$であるから$$OQ={\displaystyle \frac{B{A}^2+A(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}{A(A+B)}}={\displaystyle \frac{AB+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{A+B}}$$である。したがって$$OQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }}}$$である。

辺 $OA$, $OB$ 方向の単位ベクトルの和は、頂角の二等分線方向を向く。この方向と直線 $AB$ の交点を直接求め、最後に $OA$ 方向への正射影を取る。

(1) $$A=\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid },B=\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid },\overrightarrow{u}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{A}}+{\displaystyle \frac{\overrightarrow{b}}{B}}$$とおく。$\overrightarrow{u}$ は、2本の単位ベクトルの和なので $\mathrm{\angle }AOB$ の二等分線方向を向く。

点 $P$ を$$\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{u}$$と表す。一方、$P$ は $AB$ 上にあるから、ある $0<s<1$ により$$\overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$$と書ける。両式で $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ の係数を比べると$${\displaystyle \frac{t}{A}}=1-s,{\displaystyle \frac{t}{B}}=s\mathrm{.}$$したがって $A(1-s)=Bs$、すなわち$$s={\displaystyle \frac{A}{A+B}}\mathrm{.}$$よって $AP:PB=s:(1-s)=A:B$ である。

(2)

上の式から$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{B\overrightarrow{a}+A\overrightarrow{b}}{A+B}}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{a}\mathrm{/}A$ は $OA$ 方向の単位ベクトルなので、$OQ$ は$$OQ=\overrightarrow{OP}\cdot {\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}}{A}}={\displaystyle \frac{AB+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{A+B}}\mathrm{.}$$ゆえに$$OQ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$