名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
さいころの目のうち3の倍数は $3,6$ の2つである。したがって1回で3の倍数が出る確率は $${\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。よって$$P_n(k)={}_n{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-k}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{k+1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n-k}{k+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n-k}{2(k+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
(1)より $P_n(k+1)\geqq P_n(k)$ となる条件は ${\displaystyle \frac{n-k}{2(k+1)}}\geqq 1$ すなわち $n-k\geqq 2k+2$ である。これは $3k\leqq n-2$ と同値である。

したがって、$P_n(k)$ はこの条件を満たす間は増加し、満たさなくなると減少する。最大値が2つ並ぶ場合は大きい方の $k$ を選ぶことに注意して、$n$ を3で割った余りで分ける。 $n=3m-1$ のとき、$k=m-1$ で $${\displaystyle \frac{P_n(m)}{P_n(m-1)}}=1$$ となるので、$k=m-1,m$ が同じ最大値をとる。大きい方を選ぶから $N(n)=m$ である。 $n=3m$ のときは $k=m-1$ から $k=m$ へは増加し、その次から減少するので $N(n)=m$ である。 $n=3m+1$ のときも最大は $N(n)=m$ である。よって$$\{\begin{array}{l}N(3m-1)=m,\\ N(3m)=m,\\ N(3m+1)=m\end{array}$$である。

これより$${\displaystyle \frac{N(3m-1)}{3m-1}}={\displaystyle \frac{m}{3m-1}},{\displaystyle \frac{N(3m)}{3m}}={\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{N(3m+1)}{3m+1}}={\displaystyle \frac{m}{3m+1}}$$である。最も小さくなりうるのは第3の場合で、${\displaystyle \frac{m}{3m+1}}$ は $m\geqq 1$ で増加する。したがって最小は $m=1$、すなわち $n=4$ のときであり、その値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

(3)
(2)の表示から、どの場合も $N(n)$ は $n\mathrm{/}3$ との差が高々1である。
また$${\displaystyle \frac{m}{3m-1}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{m}{3m+1}}$$はいずれも $m\to \mathrm{\infty }$ で ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ に近づく。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{N(n)}{n}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$

最大点 $k$ では左隣から減らず、右隣へ増えない。この2本の不等式を同時に解き、$N(n)=\lfloor (n+1)\mathrm{/}3\rfloor$ を直接得る。

(1) $$P_n(k)={}_n{\mathrm{C}}_k{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-k}$$より$${\displaystyle \frac{P_n(k+1)}{P_n(k)}}={\displaystyle \frac{n-k}{2(k+1)}}\mathrm{.}$$(2)

$k$ が最大点であるためには$$P_n(k)\geqq P_n(k-1),P_n(k)\geqq P_n(k+1)$$であればよい。隣接比から、これは$$3k\leqq n+1,3k\geqq n-2$$に対応する。同率の最大点が2つあるときは大きい方を選ぶので$$N(n)=\lfloor {\displaystyle \frac{n+1}{3}}\rfloor \mathrm{.}$$$n=3m-1,3m,3m+1$ に分けると$${\displaystyle \frac{N(n)}{n}}={\displaystyle \frac{m}{3m-1}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{m}{3m+1}}\mathrm{.}$$第3の値は $m\geqq 1$ で増加するため、全体の最小は $m=1$、すなわち$$n=4,{\displaystyle \frac{N(n)}{n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。

(3) $$\mid {\displaystyle \frac{N(n)}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mid \leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}$$だから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{N(n)}{n}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$