名古屋大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $n$ 個の点のうち異なる2点を選ぶごとに1本の線分が引かれる。したがって線分の数は ${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$ である。

(2)
線分の本数を $$N={\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$ とする。すべての線分の色の塗り方は $3^N$ 通りである。すべての線分が同一色である塗り方は、赤・青・黄の3通りである。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{3}{3^N}}=3^{1-N}$$ である。

(3)
事象 $A_1$ は、3点 $a_1,a_2,a_3$ を結ぶ3本の線分が同一色である事象である。この3本の塗り方は全部で $3^3$ 通りで、同一色となる塗り方は3通りである。したがって $$P(A_1)={\displaystyle \frac{3}{3^3}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$$ である。

(4)
まず $$P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2})=1-P(A_1\cup A_2)$$ である。ここで $P(A_1)=P(A_2)={\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。

次に $A_1\cap A_2$ を考える。$A_1$ では辺 $a_1{a}_2,a_1{a}_3,a_2{a}_3$ が同一色であり、$A_2$ では辺 $a_2{a}_3,a_2{a}_4,a_3{a}_4$ が同一色である。両方に共通する辺 $a_2{a}_3$ があるため、この5本の辺 $a_1{a}_2,a_1{a}_3,a_2{a}_3,a_2{a}_4,a_3{a}_4$ はすべて同一色でなければならない。残りの辺 $a_1{a}_4$ の色は自由である。したがって $$P(A_1\cap A_2)={\displaystyle \frac{3\cdot 3}{3^6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}$$ である。

よって $$P(A_1\cup A_2)={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{81}}={\displaystyle \frac{17}{81}}$$ であり、$$P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2})=1-{\displaystyle \frac{17}{81}}={\displaystyle \frac{64}{81}}$$である。

(5)
事象 $B$ は、4点からどの3点を選んでも、その3点を結ぶ3本の線分が同一色ではない、という事象である。これは $A_1,A_2,A_3,A_4$ のどれも起こらないことを意味する。したがって$$B=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \overline{A_3}\cap \overline{A_4}$$である。

(6)
(5)より $$B=\overline{A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4}$$ である。したがって $$P(B)=1-P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)$$ である。

和事象の確率は個々の事象の確率の和以下であるから $$P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)\leqq P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+P(A_4)$$ である。各 $A_i$ の確率は ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ なので $$P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)\leqq 4\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。よって $$P(B)\geqq 1-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$$ である。

(1) 〜(5)の基本結果を確認した後、4つの単色三角形事象の和を包除原理で正確に数える。問題の下界より強い $P(B)={\displaystyle \frac{50}{81}}$ が得られる。

(1)

線分は異なる2点の選び方と同数なので$${\displaystyle \frac{n(n-1)}{2}}$$本である。

(2)

$N=n(n-1)\mathrm{/}2$ とおく。全線分が同色である確率は$${\displaystyle \frac{3}{3^N}}=3^{1-N}\mathrm{.}$$(3)

三角形の3辺が同色になる塗り方は3通り、全体は $3^3$ 通りだから$$P(A_1)={\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$(4)

$A_1\cap A_2$ では共有辺のため、関係する5辺が同じ色になり、残り1辺だけが自由である。よって$$P(A_1\cap A_2)={\displaystyle \frac{3\cdot 3}{3^6}}={\displaystyle \frac{1}{81}}\mathrm{.}$$したがって$$P(\overline{A_1}\cap \overline{A_2})=1-({\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{81}})={\displaystyle \frac{64}{81}}\mathrm{.}$$(5)$$B=\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap \overline{A_3}\cap \overline{A_4}\mathrm{.}$$(6)

任意の2事象 $A_i,A_j$ の共通部分の確率は ${\displaystyle \frac{1}{81}}$ である。任意の3事象、また4事象すべての共通部分では6辺が同色になり、その確率は ${\displaystyle \frac{1}{243}}$ である。包除原理により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^4{A}_i\right)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{6}{81}}+{\displaystyle \frac{4}{243}}-{\displaystyle \frac{1}{243}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{31}{81}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$P(B)=1-{\displaystyle \frac{31}{81}}={\displaystyle \frac{50}{81}}>{\displaystyle \frac{5}{9}}\mathrm{.}$$特に、問題で求められた $P(B)\geqq 5\mathrm{/}9$ が従う。