名古屋大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
白の点灯確率を $w_n$ とすると$$w_{n+1}=(1-p)w_n+p(1-w_n)=p+(1-2p)w_n,w_0=0.$$よって$$w_n={\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$これが (a) の答えである。

赤の消灯確率も $w_n$、白の消灯確率は$${\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}$$である。二つの動きは独立だから、(b) の確率は$$1-{\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}{\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}={\displaystyle \frac{3+(1-2p{)}^{2n}}{4}}\mathrm{.}$$(2)
時刻0では赤だけが点灯している。一方だけ点灯している状態からは、確率 $p$ で両方点灯、確率 $1-p$ で両方消灯へ移る。両方が同じ状態からは、次に必ず一方だけ点灯する。したがって偶数時刻には一方だけ、奇数時刻には両方点灯または両方消灯となる。

奇数時刻には両方点灯の確率が $p$ なので、白の点灯確率は $p$ である。偶数時刻 $n\geqq 2$ では、直前の両方消灯から白だけ点灯する確率は $1-p$、直前の両方点灯から赤が消灯して白だけになる確率は $p$ である。よって (a) は$$\{\begin{array}{ll}0& (n=0),\\ p& (n\text{ が奇数}),\\ p^2+(1-p{)}^2& (n\geqq 2\text{ が偶数})\end{array}$$である。

(b) は、偶数時刻なら確率1、奇数時刻なら両方点灯の場合だけなので$$\{\begin{array}{ll}1& (n\text{ が偶数}),\\ p& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。

各1秒の遷移ではなく2秒ごとの遷移をまとめる。(1)は点灯確率の平衡値との差が毎秒 $1-2p$ 倍になる。(2)は偶数時刻と奇数時刻で状態の型が完全に分かれる。

(1)
白の点灯確率を $w_n$ とすると$$w_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=(1-2p)(w_n-{\displaystyle \frac{1}{2}}),w_0=0.$$よって$$w_n={\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}\mathrm{.}$$赤の消灯確率も同じ値である。両ランプは独立だから、少なくとも一方が点灯する確率は$$1-{\displaystyle \frac{1+(1-2p{)}^n}{2}}{\displaystyle \frac{1-(1-2p{)}^n}{2}}={\displaystyle \frac{3+(1-2p{)}^{2n}}{4}}\mathrm{.}$$(2)
偶数時刻には必ず一方だけが点灯し、奇数時刻には両方点灯または両方消灯である。奇数時刻に両方点灯する確率は常に $p$ である。

したがって白の点灯確率は$$\{\begin{array}{ll}0& (n=0),\\ p& (n\text{ が奇数}),\\ p^2+(1-p{)}^2& (n\geqq 2\text{ が偶数}),\end{array}$$少なくとも一方が点灯する確率は$$\{\begin{array}{ll}1& (n\text{ が偶数}),\\ p& (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。