名古屋大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数文系数学 第3問(b)

(1)
取り出す全体の場合の数は ${}_{40}{\mathrm{C}}_k$ である。

条件を満たす取り出し方を数える。まず、3枚そろう数を選ぶ方法は10通りである。その数が書かれたカードは4枚あるので、そのうち3枚を選ぶ方法は ${}_4{\mathrm{C}}_3$ 通りである。

残り $k-3$ 枚は、この数とは異なり、互いにも異なる数でなければならない。したがって、残りの9種類の数から $k-3$ 種類を選び、それぞれについて4枚のうち1枚を選ぶ。これは ${}_9{\mathrm{C}}_{k-3}{4}^{k-3}$ 通りである。

よって$$p(k)={\displaystyle \frac{10\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3\cdot {}_9{\mathrm{C}}_{k-3}\cdot 4^{k-3}}{{}_{40}{\mathrm{C}}_k}}(3\leqq k\leqq 12)$$である。

(2)
(1)の式から $$f(k)={\displaystyle \frac{p(k-1)}{p(k)}}$$ を計算する。定数 $10\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3$ は打ち消し合うので$$f(k)={\displaystyle \frac{{}_9{\mathrm{C}}_{k-4}{4}^{k-4}}{{}_{40}{\mathrm{C}}_{k-1}}}\cdot {\displaystyle \frac{{}_{40}{\mathrm{C}}_k}{{}_9{\mathrm{C}}_{k-3}{4}^{k-3}}}$$である。ここで$${\displaystyle \frac{{}_9{\mathrm{C}}_{k-4}}{{}_9{\mathrm{C}}_{k-3}}}={\displaystyle \frac{k-3}{13-k}},{\displaystyle \frac{{}_{40}{\mathrm{C}}_k}{{}_{40}{\mathrm{C}}_{k-1}}}={\displaystyle \frac{41-k}{k}}$$であり、さらに $${\displaystyle \frac{4^{k-4}}{4^{k-3}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ だから $$f(k)={\displaystyle \frac{(k-3)(41-k)}{4k(13-k)}}$$ である。

(3) $f(k)=p(k-1)\mathrm{/}p(k)$ であるから、$f(k)<1$ なら $p(k-1)<p(k)$、$f(k)>1$ なら $p(k-1)>p(k)$ である。

(2) の式を用いると$$f(7)={\displaystyle \frac{(7-3)(41-7)}{4\cdot 7(13-7)}}={\displaystyle \frac{136}{168}}={\displaystyle \frac{17}{21}}<1$$であり、$$f(8)={\displaystyle \frac{(8-3)(41-8)}{4\cdot 8(13-8)}}={\displaystyle \frac{165}{160}}={\displaystyle \frac{33}{32}}>1$$である。さらに、分母が正であることに注意すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(k)<1}& {\displaystyle ⟺(k-3)(41-k)<4k(13-k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺3k^2-8k-123<0.}\end{array}$$左辺の2次式は $k\geqq 4$ で単調に増加し、$k=7$ で負、$k=8$ で正である。
したがって $p(k)$ は $k=7$ までは増加し、$k=8$ 以後は減少する。

したがって $p(k)$ を最大にする $k$ は $k=7$ である。

同時に取り出す代わりに、取り出した $k$ 枚へ仮に順序を付ける。3枚が入る位置、同じ数、実物のカード、残りの異なる数を順に選び、全順列数で割る。

(1)

$k$ 枚に仮の順序を付ける。全事象は$${}_{40}{\mathrm{P}}_k$$通りである。3枚が同じ数になる位置は ${}_k{\mathrm{C}}_3$ 通り、その数は10通り、その数の実物カード3枚を順序付きで置く方法は ${}_4{\mathrm{P}}_3$ 通りである。

残りの $k-3$ 個の位置には、他の9種類から異なる種類を順序付きで選び、各種類の実物カードを1枚選ぶ。これは$${}_9{\mathrm{P}}_{k-3}{4}^{k-3}$$通りである。したがって$$p(k)={\displaystyle \frac{{}_k{\mathrm{C}}_3\cdot 10\cdot {}_4{\mathrm{P}}_3\cdot {}_9{\mathrm{P}}_{k-3}\cdot 4^{k-3}}{{}_{40}{\mathrm{P}}_k}}\mathrm{.}$$階乗を整理すると$$p(k)={\displaystyle \frac{10\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3\cdot {}_9{\mathrm{C}}_{k-3}\cdot 4^{k-3}}{{}_{40}{\mathrm{C}}_k}}$$となる。

(2)

隣接項を割ると$$f(k)={\displaystyle \frac{p(k-1)}{p(k)}}={\displaystyle \frac{(k-3)(41-k)}{4k(13-k)}}\mathrm{.}$$(3)

$4\leqq k\leqq 12$ では分母が正であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(k)<1}& {\displaystyle ⟺(k-3)(41-k)<4k(13-k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺3k^2-8k-123<0.}\end{array}$$左辺は $k=7$ で $-32$、$k=8$ で5であり、$k\geqq 4$ では単調に増加する。ゆえに $p(k)$ は $k=7$ まで増加し、その後は減少する。したがって最大にする値は$$k=7$$である。