名古屋大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3+6\cos x=3(1+2\cos x)$$より、極大点と極小点はそれぞれ$$a={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},b={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$である。したがって$$f(a)=2\pi +3\sqrt{3},f(b)=4\pi -3\sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)
$(b,f(b))$ を通る傾き3の直線は$$g(x)=3x-3\sqrt{3}\mathrm{.}$$$g(c)=f(a)$ より$$c={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$(3)
$f^{\mathrm{\prime }}$ の符号は $(0,a)$ で正、$(a,b)$ で負、$(b,2\pi )$ で正である。したがって $f$ は極大点 $(a,f(a))$、極小点 $(b,f(b))$ を通る。$g$ は極小点を通る傾き3の直線である。

(4)
水面が高さ $f(a)$ に達すると左側の山を越えて原点へ流れる。直前の水の体積を円筒殻で表すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_a^{b}x\{f(a)-f(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_b^{c}x\{f(a)-g(x)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$すなわち$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_{2\pi \mathrm{/}3}^{4\pi \mathrm{/}3}x(2\pi +3\sqrt{3}-3x-6\sin x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_{4\pi \mathrm{/}3}^{2\pi \mathrm{/}3+2\sqrt{3}}x(2\pi +6\sqrt{3}-3x)dx\mathrm{.}}\end{array}$$$$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$$を用いて計算すると$$V=4\pi (-\sqrt{3}{\pi }^2+5\pi +9\sqrt{3})\mathrm{.}$$

水の断面を高さ $f(a)$ と底面の差として捉え、回転体の一次モーメントを区間ごとにまとめて計算する。積分の端点で $\sin ,\cos$ の値を先に表にして計算量を抑える。

(1) $$a={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},b={\displaystyle \frac{4\pi }{3}},$$したがって$$f(a)=2\pi +3\sqrt{3},f(b)=4\pi -3\sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)
$g(x)=3x-3\sqrt{3}$ なので$$c={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2\sqrt{3}\mathrm{.}$$(3)
$f$ は $0$ から $a$ まで増加、$a$ から $b$ まで減少、$b$ から $2\pi$ まで増加する。$g$ は $(b,f(b))$ を通る傾き3の直線として描く。

(4)
水面が $f(a)$ に達する直前の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_a^{b}x\{f(a)-f(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2\pi {\int }_b^{c}x\{f(a)-g(x)\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$$$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$$を用い、$a=2\pi \mathrm{/}3$, $b=4\pi \mathrm{/}3$, $c=2\pi \mathrm{/}3+2\sqrt{3}$ を代入して整理すると$$V=4\pi (-\sqrt{3}{\pi }^2+5\pi +9\sqrt{3})\mathrm{.}$$