名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x>0$ とする。対数を積分で表すと $$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})=\log (x+1)-\log x={\int }_x^{x+1}{\displaystyle \frac{dt}{t}}$$ である。

区間 $[x,x+1]$ では $${\displaystyle \frac{1}{t}}\ge {\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$ であり、しかも全区間で等号が成り立つわけではない。したがって $${\int }_x^{x+1}{\displaystyle \frac{dt}{t}}>{\int }_x^{x+1}{\displaystyle \frac{dt}{x+1}}={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$ である。よって $$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})>{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$$ である。

(2) 比較する2つの数を$$A={(1+{\displaystyle \frac{2001}{2002}})}^{2002\mathrm{/}2001},B={(1+{\displaystyle \frac{2002}{2001}})}^{2001\mathrm{/}2002}$$とおく。正の数の大小は対数の大小で比較できる。 $$h(u)=u\log (1+{\displaystyle \frac{1}{u}})(u>0)$$ とおくと、$$h^{\mathrm{\prime }}(u)=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{u}})-{\displaystyle \frac{1}{u+1}}$$ である。(1) を $x=u$ に適用すると $h^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ だから、$h(u)$ は $u>0$ で増加する。

ここで$$\log A={\displaystyle \frac{2002}{2001}}\log (1+{\displaystyle \frac{2001}{2002}})=h\left({\displaystyle \frac{2002}{2001}}\right)$$であり、$$\log B={\displaystyle \frac{2001}{2002}}\log (1+{\displaystyle \frac{2002}{2001}})=h\left({\displaystyle \frac{2001}{2002}}\right)$$である。さらに $${\displaystyle \frac{2002}{2001}}>{\displaystyle \frac{2001}{2002}}$$ なので、$h$ の増加性より $\log A>\log B$ である。したがって$${(1+{\displaystyle \frac{2001}{2002}})}^{2002\mathrm{/}2001}>{(1+{\displaystyle \frac{2002}{2001}})}^{2001\mathrm{/}2002}$$である。

積分表示を使わず、$\log (1+t)-t\mathrm{/}(1+t)$ の微分で基本不等式を作る。その不等式が、後半で導入する関数の導関数そのものになるよう変数を選ぶ。

(1) $$F(t)=\log (1+t)-{\displaystyle \frac{t}{1+t}}(t\geqq 0)$$とおく。$F(0)=0$ であり$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{1+t}}-{\displaystyle \frac{1}{(1+t{)}^2}}={\displaystyle \frac{t}{(1+t{)}^2}}>0(t>0)$$だから $F(t)>0$ である。$t=1\mathrm{/}x$ とすれば$$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})>{\displaystyle \frac{1}{x+1}}\mathrm{.}$$(2)$$h(u)=u\log (1+{\displaystyle \frac{1}{u}})$$とおくと$$h^{\mathrm{\prime }}(u)=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{u}})-{\displaystyle \frac{1}{u+1}}>0.$$ゆえに $h$ は増加する。$${\displaystyle \frac{2002}{2001}}>{\displaystyle \frac{2001}{2002}}$$ なので$$h\left({\displaystyle \frac{2002}{2001}}\right)>h\left({\displaystyle \frac{2001}{2002}}\right)\mathrm{.}$$これは比較する二数の対数の大小そのものであるから$${(1+{\displaystyle \frac{2001}{2002}})}^{2002\mathrm{/}2001}>{(1+{\displaystyle \frac{2002}{2001}})}^{2001\mathrm{/}2002}\mathrm{.}$$