名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

1回目では8に到達できない。2回で8に到達するには、2つの出目の和が8になればよい。可能な組は $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ の5通りである。よって $$p_2={\displaystyle \frac{5}{36}}$$ である。

(2)

2回投げ終えてまだ終了していないとき、位置は2から7のいずれかである。この各位置 $k$ から次にちょうど8へ到達する出目は $8-k$ の1通りである。したがって、3回目に終了する確率は、2回目までに終了していない確率の ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。

よって$$p_3=(1-p_2){\displaystyle \frac{1}{6}}=(1-{\displaystyle \frac{5}{36}}){\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{31}{216}}$$である。

(3)

2回目以後、終了していないときの位置は常に2から7のいずれかである。実際、2から7の位置でサイコロを投げ、8に到達しなかった場合、反射後も位置は2から7の範囲に残る。

したがって、3回目以後は、終了していない状態から次の1回で終了する確率が常に ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ であり、終了しない確率が ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ である。ゆえに $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{p}_n(n\geqq 3)$$ が成り立つ。すでに $$p_3={\displaystyle \frac{31}{216}}$$ であるから、$n\geqq 4$ について$$p_n=p_3{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}={\displaystyle \frac{31}{216}}\cdot {\displaystyle \frac{5^{n-3}}{6^{n-3}}}={\displaystyle \frac{31\cdot 5^{n-3}}{6^n}}$$である。

2回目終了時の未終了確率を求め、以後は各回で未終了のまま残る確率が${\displaystyle \frac{5}{6}}$であることを使う。ちょうど$n$回目に終わる確率を「それまで生存」×「次に成功」で直接表す。

(1)

2回で終了する出目の組は5通りなので$$p_2={\displaystyle \frac{5}{36}}\mathrm{.}$$2回目まで未終了である確率は$$q_2=1-p_2={\displaystyle \frac{31}{36}}\mathrm{.}$$(2)

この未終了状態では位置が2から7にあり、次の出目6通りのうち終了するものは1通りだけである。よって$$p_3=q_2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{31}{216}}\mathrm{.}$$(3)

$n\geqq 3$について、ちょうど$n$回目に終了するには、2回目の後から
$n-1$回目までの$n-3$回は終了せず、最後の1回で終了すればよい。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =q_2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-3}{\displaystyle \frac{1}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{31\cdot 5^{n-3}}{6^n}}\mathrm{.}}\end{array}$$