名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

1回目の出目は1から6なので、1回で8に到達することはない。2回で8に到達して終了するには、2つの出目の和が8になればよい。可能な組は $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ の5通りである。全体は $6^2=36$ 通りだから、$$p_2={\displaystyle \frac{5}{36}}$$ である。

(2)

2回投げ終わってまだ終了していない場合を考える。2回目終了時点で8にいないとき、位置は2から7のいずれかである。実際、2つの出目の和が8未満なら位置は2から7であり、8を超えた場合も反射後の位置は4から7のいずれかである。

位置 $k$ が2から7のいずれであっても、次にちょうど8へ移動する出目は $8-k$ の1通りだけである。したがって、2回目までに終了していない確率に ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ を掛ければよい。よって$$p_3=(1-p_2){\displaystyle \frac{1}{6}}=(1-{\displaystyle \frac{5}{36}}){\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{31}{216}}$$である。

(3)

4回目に終了するためには、3回目までに終了しておらず、4回目の出目でちょうど8へ入ればよい。上と同じ理由で、3回目までに終了していない状態では位置は2から7のいずれかであり、次に終了する出目は1通りである。

3回目までに終了していない確率は $$1-p_2-p_3=1-{\displaystyle \frac{5}{36}}-{\displaystyle \frac{31}{216}}={\displaystyle \frac{155}{216}}$$ である。したがって $$p_4={\displaystyle \frac{155}{216}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{155}{1296}}$$ である。

2回投げた時点でまだ終了していない確率を出発点にする。その後は、未終了なら次の1回で終了する確率が常に${\displaystyle \frac{1}{6}}$であるため、未終了確率が毎回${\displaystyle \frac{5}{6}}$倍になる。

(1)

2回の出目の和が8になるのは$$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$$の5通りである。したがって$$p_2={\displaystyle \frac{5}{6^2}}={\displaystyle \frac{5}{36}}\mathrm{.}$$(2)

$q_k$を、$k$回投げ終えた時点でまだ終了していない確率とする。$$q_2=1-p_2={\displaystyle \frac{31}{36}}\mathrm{.}$$2回目以後、未終了時の位置は2から7のいずれかである。どの位置からも、次に8へ入る出目は1通りだけなので$$p_{k+1}={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_k,q_{k+1}={\displaystyle \frac{5}{6}}{q}_k(k\geqq 2)$$である。よって$$p_3={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_2={\displaystyle \frac{31}{216}},$$(3)$$p_4={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_3={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}{q}_2={\displaystyle \frac{155}{1296}}\mathrm{.}$$