名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数理系数学 第4問(a)

(1)

0秒後は $x=0$ である。1秒後は $$p_1(1)=q,p_1(-1)=1-q$$ である。

2秒後に $x=0$ へ来る確率は，$1$ から左へ動く場合と $-1$ から右へ動く場合を合わせて $$p_2(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}q+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-q)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。また $$p_2(2)={\displaystyle \frac{1}{2}}q,p_2(-2)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1-q)$$ である。

3秒後に $x=1$ へ来るのは，0から1へ出る場合と2から1へ戻る場合である。したがって $$p_3(1)=q\cdot p_2(0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_2(2)={\displaystyle \frac{q}{2}}+{\displaystyle \frac{q}{4}}={\displaystyle \frac{3q}{4}}$$ である。同様に $$p_3(-1)=(1-q)p_2(0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_2(-2)={\displaystyle \frac{3(1-q)}{4}}$$ である。よって $$p_3(1)+p_3(-1)={\displaystyle \frac{3q}{4}}+{\displaystyle \frac{3(1-q)}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

(2) $r_n(m)=p_n(m)+p_n(-m)$ とおく。$m=0$ のときは $r_n(0)=2p_n(0)$ である。 $n=0$ では $$p_0(0)=1,p_0(m)=0(m\mathrm{\ne }0)$$ なので，すべての $r_0(m)$ は $q$ によらない。

ある $n$ で，すべての整数 $m$ について $r_n(m)$ が $q$ によらないと仮定する。まず $m\geqq 2$ では，$m$ と $-m$ はどちらも原点ではないので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_{n+1}(m)}& {\displaystyle =p_{n+1}(m)+p_{n+1}(-m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(m-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(-m+1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(-m-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_n(m-1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_n(m+1)}\end{array}$$である。右辺は仮定により $q$ によらない。

次に $m=1$ では，原点から出る遷移が関係する。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r_{n+1}(1)}& {\displaystyle =p_{n+1}(1)+p_{n+1}(-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{q{p}_n(0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(2)\}+\{(1-q)p_n(0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(-2)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p_n(0)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_n(2)}\end{array}$$である。ここで $$p_n(0)={\displaystyle \frac{r_n(0)}{2}}$$ なので，右辺は $q$ によらない。

最後に $m=0$ では $$p_{n+1}(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{p}_n(-1)={\displaystyle \frac{1}{2}}{r}_n(1)$$ であるから，これも $q$ によらない。以上より，帰納法によってすべての自然数 $n$ で $p_n(m)+p_n(-m)$ は $q$ によらない。

(3)

(2) より $p_n(0)$ は $q$ によらない。したがって，計算しやすい $$q={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ の場合を考えればよい。このとき，各秒で右または左へ進む確率はいずれも ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である通常の対称な移動と同じである。 $n$ が奇数のとき，右へ進んだ回数と左へ進んだ回数の合計が奇数なので，両者が等しくなることはない。したがって $$p_n(0)=0(n\text{ が奇数})$$ である。 $n=2r$ のとき，0にいるためには，$2r$ 回のうち右へ進む回数と左へ進む回数がともに $r$ 回であればよい。そのような並びは ${\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2}}$ 通りあり，各並びの確率は $({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^{2r}$ である。よって $$p_{2r}(0)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2}}}{2^{2r}}}$$ である。

以上より$$p_n(0)=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2}}}{2^{2r}}}& (n=2r)\end{array}$$である。

新しい変数 $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を考える。原点からは必ず $y=1$ へ進み、正の位置では隣の2状態へ半分ずつ進むため、$y$ の推移は $q$ を含まない。これで左右の確率和の独立性を一度に示し、原点確率は対称歩行へ帰着する。

(1)

$y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ とする。$y=0$ からは確率1で $y=1$ へ進み、$y\geqq 1$ では確率 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ずつで $y-1,y+1$ へ進む。したがって3秒後に $y=1$ である確率は、2秒後の $y=0,2$ から来る確率の和で$${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$ゆえに$$p_3(1)+p_3(-1)={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$(2)

$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ の遷移確率には $q$ が現れないので、帰納的に $n$ 秒後の $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ の分布も $q$ によらない。$m>0$ なら$$p_n(m)+p_n(-m)=\mathrm{Pr}(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=m)$$であり、$m=0$ なら左辺は $2p_n(0)=2\mathrm{Pr}(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=0)$ である。負の $m$ も $\mathrm{\mid }m\mathrm{\mid }$ に直せば同じである。よって任意の整数 $m$ について確率和は $q$ によらない。

(3)

特に $p_n(0)$ は $q$ によらないから、$q={\displaystyle \frac{1}{2}}$ としてよい。$n$ が奇数なら原点へ戻れず$$p_n(0)=0.$$$n=2r$ なら、右向きと左向きがそれぞれ $r$ 回である。並びの数は$${\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2}}$$で、各並びの確率は $2^{-2r}$ だから$$p_{2r}(0)={\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2{2}^{2r}}}\mathrm{.}$$したがって$$p_n(0)=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ {\displaystyle \frac{(2r)!}{(r!{)}^2{2}^{2r}}}& (n=2r)\mathrm{.}\end{array}$$