名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

〔3〕で交換しない場合、甲の手持ちが当たりである確率は、最初に当たりを取っていた確率のままなので ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。

一方、〔3〕で交換する場合を考える。最初に甲が外れを取っていた確率は ${\displaystyle \frac{n-1}{n}}$ である。このとき、乙は残ったカードの中から外れを1枚取り除くので、並べてあるカードは $n-2$ 枚になり、その中に当たりが1枚含まれる。甲がその中から1枚と交換するとき、当たりを取る確率は ${\displaystyle \frac{1}{n-2}}$ である。したがって交換した場合の当たり確率は $${\displaystyle \frac{n-1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n-2}}={\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}$$ である。 $${\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n(n-2)}}>0$$ だから、〔3〕では交換した方が当たりである確率が高い。

(2)

〔3〕で交換した後の当たり確率を $$h={\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}$$ とおく。これは(1)より ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ より大きい。

この状態で〔5〕でも交換すると、現在の手持ちが当たりである場合は交換によって外れになる。現在の手持ちが外れである場合だけ、並べてある $n-1$ 枚の中の当たりを選べばよい。したがって〔5〕で交換した後の当たり確率は ${\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}$ である。これと $h$ を比べると $$h-{\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}={\displaystyle \frac{nh-1}{n-1}}={\displaystyle \frac{1}{(n-1)(n-2)}}>0$$ である。よって、〔3〕で交換した後に〔5〕でさらに交換するのは不利である。

また、〔3〕で交換しない場合は当たり確率が ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ であり、〔5〕で交換しても、最初の手持ちが外れだった場合に残り $n-1$ 枚から当たりを選ぶだけなので確率はやはり ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。したがって最も高くする方法は $\text{〔3〕で交換し、〔5〕では交換しない}$ である。

(3)

(2) で見たように、〔3〕で交換しない場合は、〔5〕で交換してもしなくても当たり確率は ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。一方、〔3〕で交換し、さらに〔5〕でも交換する場合の当たり確率は ${\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}$ である。これは $${\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}={\displaystyle \frac{nh-1}{n(n-1)}}={\displaystyle \frac{1}{n(n-1)(n-2)}}>0$$ より ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ より小さい。

したがって、手順の終了時に当たりである確率を最も低くするには $\text{〔3〕で交換し、〔5〕でも交換する}$ とすればよい。

(4)

問(2)の方法では〔5〕で交換しないので、〔4〕で戻されたカードに新たな印がついても甲の手持ちには影響しない。したがって $$p_A=h={\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}$$ である。

問(3)の方法では〔3〕で交換し、〔5〕でも交換する。〔3〕後に甲の手持ちが当たりである確率は $h$、外れである確率は $1-h$ である。

もし手持ちが当たりであるなら、並べてあるカードの中に本来の当たりはない。ただし、〔4〕で戻されたカードに確率 $p$ で印がつくので、〔5〕で交換して当たりを得る確率は ${\displaystyle \frac{p}{n-1}}$ である。

もし手持ちが外れであるなら、並べてあるカードの中には本来の当たりが1枚ある。さらに、戻されたカードに確率 $p$ で印がつく。したがって、〔5〕で選ぶカードが当たりである確率は ${\displaystyle \frac{1+p}{n-1}}$ である。

よって $$p_B=h\cdot {\displaystyle \frac{p}{n-1}}+(1-h)\cdot {\displaystyle \frac{1+p}{n-1}}={\displaystyle \frac{1-h+p}{n-1}}$$ である。$p_B>p_A$ は $${\displaystyle \frac{1-h+p}{n-1}}>h$$ と同値である。整理すると $p>nh-1$ であり、$$h={\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}$$ を代入して $$p>{\displaystyle \frac{n-1}{n-2}}-1={\displaystyle \frac{1}{n-2}}$$ である。確率の範囲も含めると条件は$${\displaystyle \frac{1}{n-2}}<p\leqq 1$$である。これは$n\geqq 4$では実現できるが、$n=3$では条件を満たす$p$は存在しない。

〔3〕直後の当たり確率を$h$とし、〔5〕の交換を$T(r)={\displaystyle \frac{1-r}{n-1}}$と表す。4方針を表で比較する。

(1)

交換しなければ${\displaystyle \frac{1}{n}}$である。交換する場合は$$h={\displaystyle \frac{n-1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n-2}}={\displaystyle \frac{n-1}{n(n-2)}}$$であり、$$h-{\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n(n-2)}}>0$$だから交換する方が高い。

(2)

〔5〕前の当たり確率が$r$なら、交換後は$$T(r)={\displaystyle \frac{1-r}{n-1}}$$である。よって$$\begin{array}{ccc}\text{〔3〕}& \text{〔5〕}& \text{最終確率}\\ \text{交換しない}& \text{交換しない}& {\displaystyle \frac{1}{n}}\\ \text{交換しない}& \text{交換する}& T\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)={\displaystyle \frac{1}{n}}\\ \text{交換する}& \text{交換しない}& h\\ \text{交換する}& \text{交換する}& T(h)={\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}\end{array}$$である。$$h>{\displaystyle \frac{1}{n}}>{\displaystyle \frac{1-h}{n-1}}$$より、
最大は「〔3〕で交換し、〔5〕では交換しない」である。

(3)

同じ表から、最小は「〔3〕でも〔5〕でも交換する」である。

(4)

最大方針では$p_A=h$である。最小方針を場合分けすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_B}& {\displaystyle =h{\displaystyle \frac{p}{n-1}}+(1-h){\displaystyle \frac{1+p}{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1-h+p}{n-1}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p_B>p_A⟺p>{\displaystyle \frac{1}{n-2}}\mathrm{.}$$ゆえに${\displaystyle \frac{1}{n-2}}<p\leqq 1$である。
$n=3$ではこの範囲は空である。