名古屋大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

容器 $A$ は半径 $a$ の球の下半分である。角度 $\theta$ だけ傾けて水が静止したとき、水面は傾いた縁の最も低い点を通る平面になる。この平面と球の中心との距離は $a\sin \theta$ である。

したがって水面の円の半径は$$\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }=a\cos \theta$$である。よって$$S_A(\theta )=\pi a^2{\cos }^2\theta \mathrm{.}$$(2)

球の中心から水面へ向かう座標を $u$ とする。距離 $u$ の平面による球の断面積は $\pi (a^2-u^2)$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W_A(\theta )}& {\displaystyle ={\int }_0^{a\sin \theta }\pi (a^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[a^{2}u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_0^{a\sin \theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}(3\sin \theta -{\sin }^3\theta )\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

容器 $B$ は、半径 $a$ の球の下半分を $y$ 方向へ $b\mathrm{/}a$ 倍した楕円体である。したがって体積は容器 $A$ の $b\mathrm{/}a$ 倍である。角度 $\pi \mathrm{/}2$ まで傾ければ、どちらも全量が流れ出るので$$r={\displaystyle \frac{W_B(\pi \mathrm{/}2)}{W_A(\pi \mathrm{/}2)}}={\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$(4)

$Y=ay\mathrm{/}b$ とおくと、楕円体 $B$ は半径 $a$ の球へ移る。傾き $\varphi$ の水面は、断面内で$$x\sin \varphi +y\cos \varphi =a\sin \varphi$$と表せる。正規化後は$$x\sin \varphi +{\displaystyle \frac{b}{a}}Y\cos \varphi =a\sin \varphi \mathrm{.}$$この直線と原点との距離を $as$ と書くと$$s={\displaystyle \frac{a\sin \varphi }{\sqrt{a^2{\sin }^2\varphi +b^2{\cos }^2\varphi }}}\mathrm{.}$$正規化した球で距離比 $s$ までに流出する体積は$${\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}(3s-s^3)$$であり、元の楕円体ではこれを $b\mathrm{/}a$ 倍する。したがって$$W_B(\varphi )={\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}(3s-s^3)\mathrm{.}$$$r=b\mathrm{/}a$ と (2) を使うと、条件 $W_B(\varphi )=r{W}_A(\theta )$ は$$3s-s^3=3\sin \theta -{\sin }^3\theta$$となる。関数 $3u-u^3$ は $0\leqq u\leqq 1$ で単調増加するから$$\sin \theta =s\mathrm{.}$$ゆえに$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{s}{\sqrt{1-s^2}}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\tan \varphi \mathrm{.}$$

球・楕円体の両方で、流出部分を表す無次元距離 $s$ を導入する。体積は共通関数 $3s-s^3$ になるため、単調性から距離比だけを比較できる。

(1)

水面は球の中心から距離 $a\sin \theta$ の平面であり、切り口の半径は $a\cos \theta$ である。よって$$S_A(\theta )=\pi a^2{\cos }^2\theta \mathrm{.}$$(2)

中心からの無次元距離を $s=\sin \theta$ とする。流出部分は球の断面積を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W_A(\theta )}& {\displaystyle ={\int }_0^{as}\pi (a^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}(3s-s^3)\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

楕円体は半径 $a$ の球を $y$ 方向へ $b\mathrm{/}a$ 倍したものだから、全体積も $b\mathrm{/}a$ 倍である。直角まで傾けると全量が流出するので$$r={\displaystyle \frac{b}{a}}\mathrm{.}$$(4)

楕円体で $Y=ay\mathrm{/}b$ と正規化すると球になる。傾き $\varphi$ の水面に対応する平面の、球中心からの距離を $a{s}_{\varphi }$ とすると$$s_{\varphi }={\displaystyle \frac{a\sin \varphi }{\sqrt{a^2{\sin }^2\varphi +b^2{\cos }^2\varphi }}}\mathrm{.}$$したがって$$W_B(\varphi )={\displaystyle \frac{b}{a}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi a^3}{3}}(3s_{\varphi }-s_{\varphi }^3)\mathrm{.}$$$W_B(\varphi )=r{W}_A(\theta )$ と $r=b\mathrm{/}a$ から$$3s_{\varphi }-s_{\varphi }^3=3\sin \theta -{\sin }^3\theta \mathrm{.}$$$3u-u^3$ は $0\leqq u\leqq 1$ で単調増加するので$$\sin \theta =s_{\varphi }\mathrm{.}$$よって$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{s_{\varphi }}{\sqrt{1-s_{\varphi }^2}}}={\displaystyle \frac{a}{b}}\tan \varphi \mathrm{.}$$