名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

準備

向かい合う面の組を$$A=\{1,6\},B=\{2,5\},C=\{3,4\}$$とする．どの組も番号の和は7である．底面がある組に属するとき，
同じ組のもう一方の面は向かい側にあるので，次の底面にはならない．
残る2組の番号和はどちらも7だから，次に各組へ移る確率は
それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(1)

初めは組$A$の面1が底面であり，1回後には組$A$へ移れないから$$q_1=0$$である．2回後に組$A$へ戻る確率は，1回後にいる組が$B,C$の
どちらでも${\displaystyle \frac{1}{2}}$なので$$q_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である．

(2)

初期状態も含めて$q_0=1$とおく．組$A$にいれば次は組$A$に
残らず，組$A$以外にいれば次に組$A$へ移る確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．
したがって$$q_n={\displaystyle \frac{1-q_{n-1}}{2}}(n\geqq 1)$$である．これを$$q_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(q_{n-1}-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$と書き直すと，$q_0=1$より$$q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$を得る．

(3)

組$A$へ入るとき，面1と面6が選ばれる確率の比は$1:6$である．
したがって$n\geqq 1$では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n(1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7}}{q}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{21}}+{\displaystyle \frac{2}{21}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}}\end{array}$$$n=1$では0となり，初回には元の面1にも向かい側の面6にも
移れないことと一致する．