名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $0\leqq t\leqq t_1$ では速度が $$v(t)=12\sqrt{t}$$ であるから、この間の道のりは$${\int }_0^{t_1}12\sqrt{t}dt=12\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}{t}_1^{3\mathrm{/}2}=8t_1\sqrt{t_1}$$である。また減速開始時の速度は $$v(t_1)=12\sqrt{t_1}$$ である。

その後は加速度 $-12$ で速度0まで減速する。初速度を $v(t_1)$ とすると、減速中の道のりは ${\displaystyle \frac{v(t_1{)}^2}{2\cdot 12}}$ である。ここに $$v(t_1)=12\sqrt{t_1}$$ を代入すると $${\displaystyle \frac{(12\sqrt{t_1}{)}^2}{24}}=6t_1$$ である。

全道のりが88なので $$8t_1\sqrt{t_1}+6t_1=88$$ である。$$s=\sqrt{t_1}$$ とおくと $8s^3+6s^2=88$ すなわち $4s^3+3s^2-44=0$ である。$s=2$ はこれを満たし、左辺は $s>0$ で増加するので正の解はこれだけである。したがって $t_1=4$ であり、$v(t_1)=12\sqrt{4}=24$ である。

(2) $v(t_1)=24$ より $$a\sqrt{t_1}=24$$ である。したがって $$t_1={\left({\displaystyle \frac{24}{a}}\right)}^2$$ である。

前半の道のりは$${\int }_0^{t_1}a\sqrt{t}dt={\displaystyle \frac{2a}{3}}{t}_1^{3\mathrm{/}2}$$である。上の $t_1$ を代入すると $${\displaystyle \frac{2a}{3}}{\left({\displaystyle \frac{24}{a}}\right)}^3={\displaystyle \frac{9216}{a^2}}$$ である。

後半の減速中の道のりは、初速度24、加速度 $b<0$ で停止するので ${\displaystyle \frac{{24}^2}{-2b}}$ である。条件 $ab=-144$ より $$-b={\displaystyle \frac{144}{a}}$$ だから、これは $${\displaystyle \frac{576}{2\cdot {\displaystyle \frac{144}{a}}}}=2a$$ である。よって全道のりは $$D(a)={\displaystyle \frac{9216}{a^2}}+2a(a>0)$$ である。

微分すると $$D^{\mathrm{\prime }}(a)=-{\displaystyle \frac{18432}{a^3}}+2$$ である。$D^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ より $a^3=9216$ である。$D^{\mathrm{\prime }}(a)$ はこの点の前で負、後で正に変わるので、ここで最小となる。したがって $$a=\sqrt[3]{9216}$$ であり、$$b=-{\displaystyle \frac{144}{a}}=-{\displaystyle \frac{144}{\sqrt[3]{9216}}}$$ である。

このとき $a^3=9216$ だから $${\displaystyle \frac{9216}{a^2}}=a$$ である。よって最小の道のりは $$D_{\min }=a+2a=3a=3\sqrt[3]{9216}$$ である。

(1) は速度の積分と等加速度運動の三角形面積で求める。(2)では全道のりを$D(a)={\displaystyle \frac{9216}{a^2}}+2a$まで整理した後、3つの正数${\displaystyle \frac{9216}{a^2}},a,a$に相加相乗平均を用いる。

(1)

加速中の道のりと減速中の道のりはそれぞれ$${\int }_0^{t_1}12\sqrt{t}dt=8t_1^{3\mathrm{/}2},{\displaystyle \frac{(12\sqrt{t_1}{)}^2}{24}}=6t_1\mathrm{.}$$したがって$$8t_1^{3\mathrm{/}2}+6t_1=88.$$$$s=\sqrt{t_1}>0$$とおくと$4s^3+3s^2-44=0$であり、
左辺は正の範囲で単調増加する。$s=2$を代入すれば0になるので$$t_1=4,v(t_1)=24.$$(2)$$a\sqrt{t_1}=24$$、$ab=-144$から、全道のりは$$D(a)={\displaystyle \frac{9216}{a^2}}+2a(a>0)$$である。相加相乗平均より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9216}{a^2}}+a+a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 3\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{9216}{a^2}}\cdot a\cdot a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\sqrt[3]{9216}\mathrm{.}}\end{array}$$等号は$${\displaystyle \frac{9216}{a^2}}=a$$すなわち$a^3=9216$のときに成り立つ。よって$$a=\sqrt[3]{9216}=8\sqrt[3]{18},b=-{\displaystyle \frac{144}{\sqrt[3]{9216}}},$$最小の道のりは$$3\sqrt[3]{9216}=24\sqrt[3]{18}$$である。