名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $64=2^6$ であるから，$z^6=64$ の解は絶対値が2で，偏角が $${\displaystyle \frac{2\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ ずつ異なる6個である。したがって$$z=2(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}})(k=0,1,2,3,4,5)$$である。これを具体的に書くと$$2,1+\sqrt{3}i,-1+\sqrt{3}i,-2,-1-\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$$である。

(2)

(1) の各解を $z=p+qi$ として調べる。

まず $z=2$ のとき，$p=2,q=0$ であるから3次方程式は $x^3-2=0$ である。整数解があるなら $x^3=2$ となるが，そのような整数 $x$ はない。

次に $z=-2$ のとき，$p=-2,q=0$ であるから $x^3+2=0$ である。これも整数解をもたない。 $q=\sqrt{3}$ の場合を考える。$p=1$，すなわち $z=1+\sqrt{3}i$ のときは $x^3+3x+2=0$ である。整数解があるなら定数項2の約数より $x=\pm 1,\pm 2$ を調べればよいが，$$\begin{array}{crrrr}x& 1& -1& 2& -2\\ x^3+3x+2& 6& -2& 16& -12\end{array}$$となり，整数解はない。 $p=-1$，すなわち $z=-1+\sqrt{3}i$ のときは $x^3+3x+4=0$ である。この方程式は $(-1{)}^3+3(-1)+4=0$ より，整数解 $x=-1$ をもつ。したがって $z=-1+\sqrt{3}i$ は条件を満たす。

最後に $q=-\sqrt{3}$ の場合を考える。$p=1$，すなわち $z=1-\sqrt{3}i$ のときは $x^3-3x+2=0$ であり，$1^3-3\cdot 1+2=0$ なので整数解 $x=1$ をもつ。よって条件を満たす。 $p=-1$，すなわち $z=-1-\sqrt{3}i$ のときは $x^3-3x+4=0$ である。整数解があるなら $x=\pm 1,\pm 2,\pm 4$ を調べればよい。代入すると$$\begin{array}{crrrrrr}x& 1& -1& 2& -2& 4& -4\\ x^3-3x+4& 2& 6& 6& 2& 56& -48\end{array}$$となり，整数解はない。

以上より，条件を満たす解は $-1+\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$ である。

(1) では $z^6-64$ を3つの2次式へ因数分解して、6解を直交形式で得る。(2)では各 $(p,q)$ に対する3次式と整数根候補を表にまとめる。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle z^6-64}& {\displaystyle =(z^3-8)(z^3+8)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(z-2)(z+2)(z^2+2z+4)(z^2-2z+4)\mathrm{.}}\end{array}$$各2次方程式も解くと$$z=2,-2,1\pm \sqrt{3}i,-1\pm \sqrt{3}i$$である。

(2)

3次式を $$P_{p,q}(x)=x^3+\sqrt{3}qx+q^2-p$$ とおく。各候補を代入すると$$\begin{array}{ccc}z& P_{p,q}(x)& \text{整数根}\\ 2& x^3-2& \text{なし}\\ -2& x^3+2& \text{なし}\\ 1+\sqrt{3}i& x^3+3x+2& \text{なし}\\ -1+\sqrt{3}i& x^3+3x+4& -1\\ 1-\sqrt{3}i& x^3-3x+2& 1\\ -1-\sqrt{3}i& x^3-3x+4& \text{なし}\end{array}$$となる。「なし」の行は、整数根が定数項の約数に限られることを用いて有限個を代入すれば確認できる。したがって条件を満たすのは$$z=-1+\sqrt{3}i,z=1-\sqrt{3}i$$である。