名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

漸化式 $z_{n+1}=(1+i)z_n+i$ の固定点を求める。$z=(1+i)z+i$ を解くと $-iz=i$ より $z=-1$ である。したがって両辺に1を加えると $z_{n+1}+1=(1+i)(z_n+1)$ となる。 $z_1=3$ だから $z_1+1=4$ である。よって $z_n+1$ は初項4、公比 $1+i$ の等比数列であり、$z_n+1=4(1+i{)}^{n-1}$ である。したがって $z_n=4(1+i{)}^{n-1}-1$ である。

(2) $n=8m-7$ とすると $n-1=8m-8=8(m-1)$ である。また $$(1+i{)}^2=2i,(1+i{)}^4=-4,(1+i{)}^8=16$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{8m-7}}& {\displaystyle =4(1+i{)}^{8m-8}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\{(1+i{)}^8{\}}^{m-1}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot {16}^{m-1}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{4m-2}-1}\end{array}$$である。これは実数であり、求める式が示された。

(3)

(1) より $$z_{n+1}-z_n=4(1+i{)}^n-4(1+i{)}^{n-1}=4i(1+i{)}^{n-1}$$ である。また $$z_{n+2}-z_{n+1}=4i(1+i{)}^n=(1+i)(z_{n+1}-z_n)$$ である。したがって、辺 $P_n{P}_{n+1}$ を表す複素数に $1+i$ を掛けると、辺 $P_{n+1}{P}_{n+2}$ を表す複素数になる。 $1+i$ は大きさ $\sqrt{2}$、偏角 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ の複素数であるから、2つの辺のなす角は ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ である。また $$\mathrm{\mid }{z}_{n+1}-z_n\mathrm{\mid }=4\mathrm{\mid }1+i{\mathrm{\mid }}^{n-1}=4\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}$$ であり、$$\mathrm{\mid }{z}_{n+2}-z_{n+1}\mathrm{\mid }=4\mathrm{\mid }1+i{\mathrm{\mid }}^n=4\cdot (\sqrt{2}{)}^n$$ である。よって三角形 $P_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}$ の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4\cdot (\sqrt{2}{)}^{n-1}\cdot 4\cdot (\sqrt{2}{)}^n\cdot \sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ である。$$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ だから、これは $2^{n+2}$ である。

(1) (2)は固定点を用いて処理する。(3)では2辺の長さと角度を別々に求めず、複素数$u,v$が張る三角形の面積${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\mathrm{Im}(\bar{u}v)\mathrm{\mid }$を使う。

(1) $$z_{n+1}+1=(1+i)(z_n+1),z_1+1=4$$より$$z_n=4(1+i{)}^{n-1}-1.$$(2)

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle z_{8m-7}}& {\displaystyle =4(1+i{)}^{8(m-1)}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\cdot {16}^{m-1}-1=2^{4m-2}-1.}\end{array}$$(3)$$u=z_{n+1}-z_n=4i(1+i{)}^{n-1}$$とおく。すると$$z_{n+2}-z_{n+1}=(1+i)u$$であるから、$P_n$から出るもう1本の辺は$$v=z_{n+2}-z_n=u+(1+i)u=(2+i)u$$で表される。よって三角形の面積$S_n$は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \mathrm{Im}(\bar{u}v)\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \mathrm{Im}\{(2+i)\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2\}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}}\end{array}$$また$$\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2=16\mathrm{\mid }1+i{\mathrm{\mid }}^{2n-2}=16\cdot 2^{n-1}$$なので$$S_n=2^{n+2}\mathrm{.}$$