名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

カードに書かれた数なので $$1\leqq x\leqq 13,1\leqq y\leqq 13$$ である。条件 $f(x,y)=0$ は $${\log }_3(x+y)-{\log }_{3}x-{\log }_{3}y+1=0$$ であるから，$${\log }_3{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}=-1$$ と同値である。よって $${\displaystyle \frac{x+y}{xy}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ すなわち $xy=3x+3y$ である。これを整理すると $xy-3x-3y=0$ であり，両辺に9を加えて $(x-3)(y-3)=9$ を得る。

ここで $x,y$ は正整数である。もし $x-3$ と $y-3$ がともに負なら，$x,y$ は1または2であり，$(x-3)(y-3)$ は最大でも4で，9にはならない。したがって $x-3$，$y-3$ はともに正である。9の正の約数の組は $(1,9),(3,3),(9,1)$ であるから，$$(x,y)=(4,12),(6,6),(12,4)$$ である。これらはいずれも $1\leqq x,y\leqq 13$ を満たす。

(2)

2枚を戻さず順に取り出すので，全事象は $52\cdot 51$ 通りである。

(1) で得た順序つきの組を数える。$(x,y)=(4,12)$ の場合，4のカードの選び方が4通り，12のカードの選び方が4通りなので $4\cdot 4$ 通りである。$(12,4)$ も同様に $4\cdot 4$ 通りである。

一方，$(6,6)$ の場合は，1枚目の6は4通りだが，戻さないので2枚目の6は残り3通りである。したがって $4\cdot 3$ 通りである。

よって有利な場合の数は $$4\cdot 4+4\cdot 3+4\cdot 4=44$$ である。求める確率は $${\displaystyle \frac{44}{52\cdot 51}}={\displaystyle \frac{11}{663}}$$ である。

(1) は対数条件を因数分解可能な整数方程式へ直す。(2)では2枚の取り出しを順序なしで数え、異なる数字の組 $\{4,12\}$ と同じ数字の組 $\{6,6\}$ を分ける。

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x,y)=0}& {\displaystyle ⟺{\log }_3{\displaystyle \frac{x+y}{xy}}=-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺3(x+y)=xy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺(x-3)(y-3)=9.}\end{array}$$$1\leqq x,y\leqq 13$ より、9の正の約数の組だけを調べればよい。よって$$(x,y)=(4,12),(6,6),(12,4)$$である。

(2)

52枚から順序を付けず2枚を選ぶ総数は$${\displaystyle \frac{52\cdot 51}{2}}=1326$$通りである。数字4と12を1枚ずつ選ぶ方法は $4\cdot 4=16$ 通り、数字6を2枚選ぶ方法は$${\displaystyle \frac{4\cdot 3}{2}}=6$$通りである。したがって有利な選び方は $16+6=22$ 通りであり、求める確率は$${\displaystyle \frac{22}{1326}}={\displaystyle \frac{11}{663}}\mathrm{.}$$