名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

与えられた多項式を $P(z)$ とおく。直接掛けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (z-2)P(z)}& {\displaystyle =(z-2)(z^5+2z^4+4z^3+8z^2+16z+32)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =z^6-64}\end{array}$$である。なお $z=2$ を $P(z)$ に代入すると $$2^5+2\cdot 2^4+4\cdot 2^3+8\cdot 2^2+16\cdot 2+32=192\mathrm{\ne }0$$ なので，$z=2$ はもとの方程式の解ではない。

したがって $P(z)=0$ の解は，$z^6=64=2^6$ の解のうち $z=2$ を除いたものである。$z^6=64$ の解は$$2(\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}})(k=0,1,2,3,4,5)$$であるから，求める解は$$1+\sqrt{3}i,-1+\sqrt{3}i,-2,-1-\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$$である。

(2)

(1) の各解を $z=p+qi$ として調べる。 $z=-2$ のときは $p=-2,q=0$ なので $x^3+2=0$ となり，整数解はない。 $q=\sqrt{3}$ の場合，$p=1$ では $x^3+3x+2=0$ である。整数解があるなら $x=\pm 1,\pm 2$ を調べればよいが，いずれも解ではない。$p=-1$ では $x^3+3x+4=0$ であり，$(-1{)}^3+3(-1)+4=0$ だから整数解 $x=-1$ をもつ。 $q=-\sqrt{3}$ の場合，$p=1$ では $x^3-3x+2=0$ であり，$1^3-3\cdot 1+2=0$ だから整数解 $x=1$ をもつ。$p=-1$ では $x^3-3x+4=0$ であり，整数解があるなら $x=\pm 1,\pm 2,\pm 4$ を調べればよいが，いずれも解ではない。

以上より，条件を満たす解は $-1+\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$ である。

等比型の恒等式で5次方程式を6乗根へ帰着し、除外すべき $z=2$ を明示する。(2)は $(p,q)$、3次式、見つかった整数根を一覧にして漏れを防ぐ。

(1) $$P(z)=z^5+2z^4+4z^3+8z^2+16z+32$$ とおくと$$(z-2)P(z)=z^6-64.$$$P(2)$ を計算すると$$P(2)=32+32+32+32+32+32=192\mathrm{\ne }0$$である。したがって $P(z)=0$ の解は $z^6=64$ の6解から $2$ を除いた$$1+\sqrt{3}i,-1+\sqrt{3}i,-2,-1-\sqrt{3}i,1-\sqrt{3}i$$である。

(2)

各解について $x^3+\sqrt{3}qx+q^2-p$ を作ると$$\begin{array}{ccc}z& \text{3次式}& \text{整数根}\\ 1+\sqrt{3}i& x^3+3x+2& \text{なし}\\ -1+\sqrt{3}i& x^3+3x+4& -1\\ -2& x^3+2& \text{なし}\\ -1-\sqrt{3}i& x^3-3x+4& \text{なし}\\ 1-\sqrt{3}i& x^3-3x+2& 1\end{array}$$となる。整数根候補は定数項の約数に限られるので、表の「なし」も有限回の代入で確定する。よって$$z=-1+\sqrt{3}i,z=1-\sqrt{3}i$$である。