名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

$0\leqq k\leqq 1$ とする。$y=x^2$ と $y=kx$ は $x=0,k$ で交わるから，$D$ の面積は$${\int }_0^k(kx-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{k{x}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^k={\displaystyle \frac{k^3}{6}}$$である。

次に $E\cap F$ を考える。$E$ では $y\leqq x^2$，$F$ では $y\geqq kx$ かつ $y\leqq -x^2+2x$ である。$0\leqq x\leqq 1$ では $x^2\leqq -x^2+2x$，$1\leqq x\leqq 2$ では $-x^2+2x\leqq x^2$ であるから，上端の曲線は $x=1$ で入れ替わる。また $kx\leqq x^2$ は $x\geqq k$，$kx\leqq -x^2+2x$ は $0\leqq x\leqq 2-k$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{E\cap F}}& {\displaystyle ={\int }_k^1(x^2-kx)dx+{\int }_1^{2-k}(-x^2+2x-kx)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{k{x}^2}{2}}]}_k^1+{[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{(2-k)x^2}{2}}]}_1^{2-k}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{k}{2}}+{\displaystyle \frac{k^3}{6}}+{\displaystyle \frac{(2-k{)}^3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{k}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k^2-2k+1.}\end{array}$$よって求める面積の和を $m(k)$ とすると $$m(k)={\displaystyle \frac{k^3}{6}}+k^2-2k+1$$ である。

(2)

微分すると $$m^{\mathrm{\prime }}(k)={\displaystyle \frac{k^2}{2}}+2k-2={\displaystyle \frac{1}{2}}\{k^2+4k-4\}$$ であり，$0\leqq k\leqq 1$ にある臨界点は $k=-2+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2$ だけである。さらに $m^{\mathrm{\prime }}(0)=-2<0$，$m^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1}{2}}>0$ だから，この点で最小になる。端点値を比べても $$m(0)=1,m(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ であり，内部の臨界点が最小候補である。$a=2\sqrt{2}-2$ とおくと，$a^2=12-8\sqrt{2}$，$a^3=40\sqrt{2}-56$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{40\sqrt{2}-56}{6}}+12-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{23-16\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって最小値は ${\displaystyle \frac{23-16\sqrt{2}}{3}}$ であり，そのとき $k=2\sqrt{2}-2$ である。

$E\cap F$ の上端は $x=1$ で2つの放物線の間を切り替わる．