名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 積分・三角関数理系数学 第4問(b)

(1) $$I={\int }_0^{\pi }(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})f(x)dx$$ とおく。$u=\pi -x$ と変数変換すると，$dx=-du$ であり，$x=0$ のとき $u=\pi$，$x=\pi$ のとき $u=0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_{\pi }^0(\pi -u-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})f(\pi -u)(-du)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-u)f(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_0^{\pi }(u-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})f(u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-I}\end{array}$$である。よって $I=0$ である。

(2) $$g(x)={\displaystyle \frac{{\sin }^{3}x}{4-{\cos }^{2}x}}$$ とおく。$\sin (\pi -x)=\sin x$，$\cos (\pi -x)=-\cos x$ より $g(\pi -x)=g(x)$ である。したがって(1)を $f(x)=g(x)$ に適用すると $${\int }_0^{\pi }(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})g(x)dx=0$$ である。よって $${\int }_0^{\pi }xg(x)dx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\pi }g(x)dx$$ である。

あとは $$J={\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{{\sin }^{3}x}{4-{\cos }^{2}x}}dx$$ を求めればよい。$u=\cos x$ とおくと $du=-\sin xdx$ であり，$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-u^2$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle J}& {\displaystyle ={\int }_1^{-1}{\displaystyle \frac{(1-u^2)(-du)}{4-u^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{1-u^2}{4-u^2}}du}\end{array}$$である。ここで $${\displaystyle \frac{1-u^2}{4-u^2}}=1-{\displaystyle \frac{3}{4-u^2}}$$ なので $$J={\int }_{-1}^{1}1du-3{\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{du}{4-u^2}}$$ である。

また $$\int {\displaystyle \frac{du}{4-u^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\log {\displaystyle \frac{2+u}{2-u}}+C$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{du}{4-u^2}}}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{1}{4}}\log {\displaystyle \frac{2+u}{2-u}}]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}\{\log 3-\log ({\displaystyle \frac{1}{3}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\log 3}\end{array}$$である。したがって $J=2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log 3$ である。

求める積分は$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}J={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log 3)=\pi -{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\log 3$$である。

積分を変数変換した式と元の式を辺々加え、$x$ と $\pi -x$ の平均を取る。(2)も同じ対称化を直接適用し、残った積分を $u=\cos x$ で計算する。

(1) $$I={\int }_0^{\pi }(x-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})f(x)dx$$とおく。$x$ を $\pi -x$ に置き換え、$f(\pi -x)=f(x)$ を使うと$$I={\int }_0^{\pi }({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)f(x)dx\mathrm{.}$$2式を加えれば $2I=0$ だから $I=0$ である。

(2) $$g(x)={\displaystyle \frac{{\sin }^{3}x}{4-{\cos }^{2}x}}$$は $g(\pi -x)=g(x)$ を満たす。求める積分を $K$ とすると、対称化により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2K}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\{x+(\pi -x)\}g(x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi }g(x)dx\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $u=\cos x$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }g(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{1-u^2}{4-u^2}}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(1-{\displaystyle \frac{3}{4-u^2}})du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log 3.}\end{array}$$したがって$$K={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(2-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log 3)=\pi -{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\log 3.$$