名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

微積分の基本定理より $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt{1-x^2}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(\theta )}& {\displaystyle =f^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta )(-\sin \theta )-f^{\mathrm{\prime }}(\sin \theta )\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\sin \theta \sqrt{1-{\cos }^2\theta }-\cos \theta \sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\end{array}$$である。ここで$$\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid },\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$$だから $$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-\sin \theta \mathrm{\mid }\sin \theta \mathrm{\mid }-\cos \theta \mathrm{\mid }\cos \theta \mathrm{\mid }$$ である。

(2)

まず $g(0)=f(1)-f(0)$ である。$f(1)$は半径1の上半円の面積で$\pi \mathrm{/}2$，$f(0)$はその左半分の面積で$\pi \mathrm{/}4$だから $$g(0)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。 $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$では$\sin \theta \geqq 0$，$\cos \theta \geqq 0$なので $$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =-1$$ である。よって $$g(\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta$$ である。 $$\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq \pi$$では$\sin \theta \geqq 0$，$\cos \theta \leqq 0$なので $$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )=-{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =\cos 2\theta$$ である。$g(\pi \mathrm{/}2)=-\pi \mathrm{/}4$より$$g(\theta )=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\int }_{\pi \mathrm{/}2}^{\theta }\cos 2udu=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$である。 $$\pi \leqq \theta \leqq 3\pi \mathrm{/}2$$では$\sin \theta \leqq 0$，$\cos \theta \leqq 0$なので $$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$$ である。$g(\pi )=-\pi \mathrm{/}4$より $$g(\theta )=\theta -{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$$ である。 $$3\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq 2\pi$$では$\sin \theta \leqq 0$，$\cos \theta \geqq 0$なので $$g^{\mathrm{\prime }}(\theta )={\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta =-\cos 2\theta$$ である。$g(3\pi \mathrm{/}2)=\pi \mathrm{/}4$より $$g(\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$ である。

したがって$$g(\theta )=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\theta }& (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ {\displaystyle -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta }& ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi ),\\ {\displaystyle \theta -{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}}& (\pi \leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}),\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta }& ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\leqq \theta \leqq 2\pi )\end{array}$$である。

(3)

グラフを描くための主要な点は$$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),({\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),(\pi ,-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),({\displaystyle \frac{3\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{4}}),(2\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$である。 $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$では傾き$-1$の直線，$$\pi \leqq \theta \leqq 3\pi \mathrm{/}2$$では傾き$1$の直線である。$$\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq \pi$$では $$g(\theta )=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$ であり，$\theta =3\pi \mathrm{/}4$で $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を最小値としてとる。$$3\pi \mathrm{/}2\leqq \theta \leqq 2\pi$$では $$g(\theta )={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta$$ であり，$\theta =7\pi \mathrm{/}4$で ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を最大値としてとる。これらの点と各区間の式を滑らかにつなげばよい。

$y=g(\theta )$ のグラフ

第1・第3区間は直線、第2・第4区間は正弦曲線の一部である。