名大 2006年度理系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

方針

停止するのは，表の回数または裏の回数が初めて $a$ に達した瞬間である。最小回数は同じ面が続く場合，最大回数は両方が $a - 1$ 回ずつに近づいてから最後に一方が $a$ に達する場合で決まる。 $N = n$ では最後の1回で一方が $a$ 回目になり，その直前にはその面が $a - 1$ 回，他方が $n - a$ 回出ている。期待値では $n_{n - 1} C_{a - 1} = a_{n} C_{a}$ を使い，残る和を「 $a + 1$ 回目の表がいつ出るか」の数え上げで評価する。

解答

(1)
表または裏のどちらかが $a$ 回出た時点で止まる。同じ面が $a$ 回続けば $a$ 回で止まるので $K = a$ である。一方， $2 a - 2$ 回までは表が $a - 1$ 回，裏が $a - 1$ 回という状態がありうる。しかし $2 a - 1$ 回投げると，表と裏の回数の和が $2 a - 1$ なので，少なくとも一方は $a$ 回以上になる。したがって $L = 2 a - 1$ である。

(2) $a = 3$ で $N = 4$ となるには，4回目で表または裏が3回目になればよい。最後が表の場合，初めの3回のうち表が2回，裏が1回であり，その並び方は $_{3} C_{2} = 3$ 通りである。最後が裏の場合も同じく3通りである。全事象は $2^{4}$ 通りだから $\frac{6}{2^{4}} = \frac{3}{8}$ である。

(3) $a ≦ n ≦ 2 a - 1$ とする。 $N = n$ となるには，最後の1回で一方の座標が $a$ に達し，他方の座標は $n - a$ で止まっている必要がある。最後が表の場合，初めの $n - 1$ 回のうち表が $a - 1$ 回，裏が $n - a$ 回であればよい。この並び方は $_{n - 1} C_{a - 1}$ 通りである。最後が裏の場合も同数で，両者は重ならない。したがって $p_{n} = P (N = n) = \frac{2_{n - 1} C_{a - 1}}{2^{n}}$ である。

(4)
(3)の式から $\frac{p_{n + 1}}{p_{n}} = \frac{\frac{2_{n} C_{a - 1}}{2^{n + 1}}}{\frac{2_{n - 1} C_{a - 1}}{2^{n}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{_{n} C_{a - 1}}{_{n - 1} C_{a - 1}} .$ ここで $\frac{_{n} C_{a - 1}}{_{n - 1} C_{a - 1}} = \frac{n}{n - a + 1}$ なので $\frac{p_{n + 1}}{p_{n}} = \frac{n}{2 (n - a + 1)}$ である。

(5)
期待値は $E (N) = \sum_{n = a}^{2 a - 1} n p_{n} = \sum_{n = a}^{2 a - 1} n \frac{2_{n - 1} C_{a - 1}}{2^{n}}$ である。ここで $n_{n - 1} C_{a - 1} = a_{n} C_{a}$ を用いると $E (N) = 2 a \sum_{n = a}^{2 a - 1} \frac{_{n} C_{a}}{2^{n}}$ となる。

この和を評価する。 $2 a$ 回のコイン投げを考え， $(a + 1)$ 回目の表がちょうど $n + 1$ 回目に出る事象を考える。これは，初めの $n$ 回に表がちょうど $a$ 回あり， $(n + 1)$ 回目が表であることと同じなので，その確率は $\frac{_{n} C_{a}}{2^{n + 1}}$ である。 $n = a, a + 1, \dots, 2 a - 1$ について足すと， $2 a$ 回のうち表が少なくとも $a + 1$ 回出る確率になる。対称性より $P (表が少なくとも a + 1 回) = \frac{1}{2} (1 - \frac{_{2 a} C_{a}}{2^{2 a}})$ である。したがって $\sum_{n = a}^{2 a - 1} \frac{_{n} C_{a}}{2^{n + 1}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{_{2 a} C_{a}}{2^{2 a}})$ であり，両辺を2倍して $\sum_{n = a}^{2 a - 1} \frac{_{n} C_{a}}{2^{n}} = 1 - \frac{_{2 a} C_{a}}{2^{2 a}}$ を得る。よって $E (N) = 2 a (1 - \frac{_{2 a} C_{a}}{2^{2 a}})$ である。

(5) の検算（停止前の状態を数える方法）

期待値は $E (N) = \sum_{m = 0}^{2 a - 2} P (N > m)$ としても求められる。 $m < a$ では必ず $N > m$ であり， $a ≦ m ≦ 2 a - 2$ では， $m$ 回後の表の回数を $h$ とすると，まだ止まっていない条件は $m - a + 1 ≦ h ≦ a - 1$ である。したがって $E (N) = a + \sum_{m = a}^{2 a - 2} \sum_{h = m - a + 1}^{a - 1} \frac{_{m} C_{h}}{2^{m}}$ とも表せる。この二重和をパスカルの関係で外側から畳むと上と同じ $2 a (1 -_{2 a} C_{a} / 2^{2 a})$ に戻り，停止前の状態を数える見方でも同じ結果が得られる。

図は $a = 5$ の一例．停止時刻は $a ≦ N ≦ 2 a - 1$ に限られる．

総評

最後の1回で初めて $a$ 回目に到達する，という停止時刻の読み替えが中心である。目安は25分程度。(3)で最後が表の場合と裏の場合を分け，直前の $n - 1$ 回に何が何回出ているかを明記すれば，確率式は自然に出る。(5)は和の評価が山場で，単に「整理すると」とせず， $(a + 1)$ 回目の表が出る時刻を数える説明を入れると答案の説得力が高い。

出典: 名古屋大学 2006年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

名古屋大学 2006年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問