名古屋大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
時刻 $t$ において $$P=(t,0,0),Q=(0,1-t,0)$$ である。$xy$ 平面上の直線 $PQ$ は $${\displaystyle \frac{x}{t}}+{\displaystyle \frac{y}{1-t}}=1$$ と書けるので，原点からこの直線までの距離は$$d={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{t^2}}+{\displaystyle \frac{1}{(1-t{)}^2}}}}}={\displaystyle \frac{t(1-t)}{\sqrt{t^2+(1-t{)}^2}}}$$である。線分 $PQ$ を原点のまわりに1回転させると，内半径 $d$，外半径 $\max \{t,1-t\}$ の円環ができる。 $0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき外半径は $1-t$ であるから，面積は$$\pi \{(1-t{)}^2-{\displaystyle \frac{t^2(1-t{)}^2}{t^2+(1-t{)}^2}}\}=\pi {\displaystyle \frac{(1-t{)}^4}{t^2+(1-t{)}^2}}\mathrm{.}$$ ${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1$ のとき外半径は $t$ であるから，面積は$$\pi \{t^2-{\displaystyle \frac{t^2(1-t{)}^2}{t^2+(1-t{)}^2}}\}=\pi {\displaystyle \frac{t^4}{t^2+(1-t{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって求める面積は$$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \pi {\displaystyle \frac{(1-t{)}^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& (0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \pi {\displaystyle \frac{t^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$(2)
平面 $z=u$ による断面を考える。三角形 $CPQ$ のうち高さ $z=u$ にある線分は，$xy$ 平面上の線分 $PQ$ を相似比 $1-u$ で縮小したものである。回転後の面積は長さの2乗に比例するので，(1)の面積を $(1-u{)}^2$ 倍すればよい。よって$$S(u)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \pi (1-u{)}^2{\displaystyle \frac{(1-t{)}^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& (0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle \pi (1-u{)}^2{\displaystyle \frac{t^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$体積はこれを $0\leqq u\leqq 1$ で積分して $$V(t)={\int }_0^{1}S(u)du$$ である。$${\int }_0^1(1-u{)}^{2}du={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ だから$$V(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{(1-t{)}^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& (0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{t^4}{t^2+(1-t{)}^2}}}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq t\leqq 1)\mathrm{.}\end{array}$$(3) $V(t)$ は $t$ と $1-t$ を入れ換えても同じなので，$$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ に関して対称である。したがって $0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}2$ で単調減少を確認すればよい。 $$f(t)={\displaystyle \frac{(1-t{)}^4}{t^2+(1-t{)}^2}}$$ とおく。対数微分で符号だけを見ると$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(t)}{f(t)}}=-{\displaystyle \frac{4}{1-t}}-{\displaystyle \frac{4t-2}{t^2+(1-t{)}^2}}={\displaystyle \frac{-2(2t^2-t+1)}{(1-t)\{t^2+(1-t{)}^2\}}}<0$$である。よって $f(t)$ は $0\leqq t\leqq 1\mathrm{/}2$ で減少する。対称性より，$V(t)$ は $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ で最小になる。

このとき$$V\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\displaystyle \frac{({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^4}{({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{16}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}={\displaystyle \frac{\pi }{24}}\mathrm{.}$$したがって $$t={\displaystyle \frac{1}{2}},V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$ である。