名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

準備

向かい合う面の組を$$A=\{1,6\},B=\{2,5\},C=\{3,4\}$$とする．各組の番号和は7である．底面がある組に属するとき，
次の底面は他の2組のどちらかに入り，その確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$
である．

(1)

$q_n,r_n,s_n$を，$n$回目の操作後に底面がそれぞれ
$A,B,C$に属する確率とする．初めは面1が底面なので$$q_0=1,r_0=s_0=0$$である．組間の移動から$$q_n={\displaystyle \frac{r_{n-1}+s_{n-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1-q_{n-1}}{2}}$$となる．よって$$q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$である．また初期状態と規則は$B,C$について対称なので
$r_n=s_n$である．$q_n+r_n+s_n=1$から$$r_n=s_n={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$$を得る．

(2)

各組へ入るとき，組内の2面が選ばれる確率は番号の比になる．
したがって$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle p_n(1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7}}{q}_n,}& {\displaystyle p_n(6)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6}{7}}{q}_n,}\\ {\displaystyle p_n(2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{7}}{r}_n,}& {\displaystyle p_n(5)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{7}}{r}_n,}\\ {\displaystyle p_n(3)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3}{7}}{s}_n,}& {\displaystyle p_n(4)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{7}}{s}_n\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$n\geqq 1$について$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle p_n(1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{21}}+{\displaystyle \frac{2}{21}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n,}& {\displaystyle p_n(6)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{4}{7}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n,}\\ {\displaystyle p_n(2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{21}}-{\displaystyle \frac{2}{21}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n,}& {\displaystyle p_n(5)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{21}}-{\displaystyle \frac{5}{21}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n,}\\ {\displaystyle p_n(3)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n,}& {\displaystyle p_n(4)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{21}}-{\displaystyle \frac{4}{21}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n\mathrm{.}}\end{array}$$$n=1$では面1と面6の確率が0となり，初回には現在の面と
その向かい側の面へ移れないこととも一致する．