名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
曲線 $y=x^3-a^{2}x$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-a^2$ である。したがって $C$ 上の点 $A(t,t^3-a^{2}t)$ における接線 $l$ は $$y-(t^3-a^{2}t)=(3t^2-a^2)(x-t)$$ であり、整理して $y=(3t^2-a^2)x-2t^3$ である。

曲線と接線の差をとると $$x^3-a^{2}x-\{(3t^2-a^2)x-2t^3\}=x^3-3t^{2}x+2t^3$$ である。右辺は $x=t$ を重解にもつので $$x^3-3t^{2}x+2t^3=(x-t{)}^2(x+2t)$$ と因数分解できる。よって接点以外の交点は $x=-2t$ である。

$t>0$ の場合の曲線と接線の位置関係は、例えば
$a=1,t=0.7$ として描くと次のようになる。

まず $t>0$ とする。このとき区間 $[-2t,t]$ では $x+2t\geqq 0$ であり、曲線が接線より上にある。したがって面積は$$S(t)={\int }_{-2t}^t(x-t{)}^2(x+2t)dx$$である。ここで $x=tu$ とおくと$$S(t)=t^4{\int }_{-2}^1(u-1{)}^2(u+2)du$$であり、$${\int }_{-2}^1(u-1{)}^2(u+2)du={\int }_{-2}^1(u^3-3u+2)du=\frac{27}{4}$$である。よって $$S(t)=\frac{27}{4}{t}^4$$ である。 $t<0$ の場合は積分区間の左右が入れ替わり、曲線と接線の上下も逆になるが、面積は絶対値をとるので同じ式になる。したがって $$S(t)=\frac{27}{4}{t}^4$$ である。

(2)
接点の $x$ 座標を $t$ とする。上で求めた接線が点 $B(2a,b)$ を通る条件は $b=(3t^2-a^2)2a-2t^3$ である。すなわち $b=-2t^3+6a{t}^2-2a^3$ である。

ここで $$u=\frac{t}{a},c=\frac{b}{a^3}$$ とおく。$a>0$ なので $t$ と $u$ は1対1に対応する。条件は $c=-2u^3+6u^2-2$ となる。右辺を $\varphi (u)=-2u^3+6u^2-2$ とおくと $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=-6u^2+12u=-6u(u-2)$$ である。したがって $\varphi$ は $(-\mathrm{\infty },0)$ で減少、$(0,2)$ で増加、$(2,\mathrm{\infty })$ で減少する。また $$\varphi (0)=-2,\varphi (2)=6$$ であり、$$\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (u)=\mathrm{\infty },\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (u)=-\mathrm{\infty }$$である。

接線本数は、次の $\varphi$ のグラフと水平線
$y=b\mathrm{/}{a}^3$ の交点数として読める。

よって水平線 $y=c$ との交点数を数えれば、接線の本数は$$\{\begin{array}{ll}1& (b<-2a^3),\\ 2& (b=-2a^3),\\ 3& (-2a^3<b<6a^3),\\ 2& (b=6a^3),\\ 1& (b>6a^3)\end{array}$$である。

(3)
接線が2本のみになるのは、(2)より $$b=-2a^3\text{または}b=6a^3$$ の場合である。

まず $b=-2a^3$ の場合を考える。このとき $c=-2$ であり、方程式 $-2u^3+6u^2-2=-2$ は $-2u^2(u-3)=0$ となる。したがって接点は $u=0$ と $u=3$ に対応する。このうち $u=0$、すなわち $t=0$ の接線は $y=-a^{2}x$ であり、原点を通る。これは問題の条件から除かれる。

次に $b=6a^3$ の場合を考える。このとき $c=6$ であり、方程式 $-2u^3+6u^2-2=6$ は $-2(u-2{)}^2(u+1)=0$ となる。したがって異なる接点は $u=-1,u=2$ であり、すなわち $t=-a,t=2a$ である。どちらも $t\mathrm{\ne }0$ なので、それぞれの接線は原点を通らない。

(1) より、接線と曲線で囲まれる面積は $(27\mathrm{/}4)t^4$ である。したがって2つの面積は比例定数を除いて $(-a{)}^4,(2a{)}^4$ に比例する。大きい方を $S_1$、小さい方を $S_2$ とすれば $$\frac{S_1}{S_2}=\frac{(2a{)}^4}{a^4}=16$$ である。よって $$\frac{S_1}{S_2}=16$$ である。