名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$f_0(x)=x{e}^x$ である。部分積分により$$\int t{e}^{t}dt=(t-1)e^t$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-x}^{x}t{e}^{t}dt}& {\displaystyle =(x-1)e^x-(-x-1)e^{-x}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-1)e^x+(x+1)e^{-x}\mathrm{.}}\end{array}$$また$$f_0^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^x$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_1(x)}& {\displaystyle =(x-1)e^x+(x+1)e^{-x}+(x+1)e^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x{e}^x+(x+1)e^{-x}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$g(x)={\int }_{-x}^x(at+b)e^{t}dt$$において $x$ を $-x$ に替えると、積分区間の向きが逆になるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(-x)}& {\displaystyle ={\int }_x^{-x}(at+b)e^{t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\int }_{-x}^x(at+b)e^{t}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-g(x)\mathrm{.}}\end{array}$$よって $g$ は奇関数である。$c$ の符号にかかわらず、向きも含めた対称区間の積分は$${\int }_{-c}^{c}g(x)dx=0$$となる。

(3)
関数 $F$ に対する問題の操作を$$T(F)(x)={\int }_{-x}^{x}F(t)dt+F^{\mathrm{\prime }}(x)$$と書く。まず$$F(x)=(Ax+B)e^x$$とおくと$${\int }_{-x}^x(At+B)e^{t}dt=(Ax-A+B)e^x+(Ax+A-B)e^{-x}$$であり、$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=(Ax+A+B)e^x$$である。したがって$$T(F)(x)=2(Ax+B)e^x+(Ax+A-B)e^{-x}\mathrm{.}$$この式にもう一度 $T$ を作用させる。直接計算すると$${\int }_{-x}^{x}T(F)(t)dt=(Ax+B)e^x+(Ax-B)e^{-x}$$および$$\{T(F)(x){\}}^{\mathrm{\prime }}=2(Ax+A+B)e^x+(-Ax+B)e^{-x}$$を得る。両式を足すと $e^{-x}$ の項が消えて$$T^2(F)(x)=(3Ax+2A+3B)e^x$$となる。$$f_{2n}(x)=(A_{n}x+B_n)e^x$$とおく。$f_0(x)=x{e}^x$ より$$A_0=1,B_0=0.$$また上の $T^2$ の式から$$A_{n+1}=3A_n,B_{n+1}=2A_n+3B_n$$である。よって $A_n=3^n$ である。

さらに$$B_{n+1}=2\cdot 3^n+3B_n$$の両辺を $3^{n+1}$ で割ると$$\frac{B_{n+1}}{3^{n+1}}-\frac{B_n}{3^n}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$$B_0=0$ から $n$ 項分を加えて$$\frac{B_n}{3^n}=\frac{2n}{3},B_n=2n\cdot 3^{n-1}$$を得る。したがって$$f_{2n}(x)=(3^{n}x+2n\cdot 3^{n-1})e^x=3^{n-1}(3x+2n)e^x$$である。