名古屋大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$f(x)=x^{-2}{2}^x=\frac{2^x}{x^2}(x\mathrm{\ne }0)$$ である。$f(x)>0$ なので、対数微分を用いると $$\frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}=(\log 2)-\frac{2}{x}$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ は $\log 2-\frac{2}{x}>0$ と同値である。

$x<0$ のときは $2\mathrm{/}x<0$ なので $\log 2-\frac{2}{x}>0$ が常に成り立つ。$x>0$ のときは $\log 2>\frac{2}{x}$ であり、これは $x>\frac{2}{\log 2}$ と同値である。よって $$x<0\text{または}x>\frac{2}{\log 2}$$ である。

(2)

方程式 $2^x=x^2$ は $$\frac{2^x}{x^2}=1$$ すなわち $f(x)=1$ と同値である。

まず $x<0$ を考える。(1)より $f(x)$ は $x<0$ で単調増加である。また$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^x}{x^2}=0,\underset{x\to -0}{\lim }\frac{2^x}{x^2}=+\mathrm{\infty }$$である。したがって $x<0$ に $f(x)=1$ の解がただ1つ存在する。

次に $x>0$ を考える。(1)より、$f(x)$ は $0<x<\frac{2}{\log 2}$ で減少し、$x>\frac{2}{\log 2}$ で増加する。ここで $2<\frac{2}{\log 2}<4$ である。実際、$\log 2<1$ より左の不等式が成り立ち、$\log 2>1\mathrm{/}2$ より右の不等式が成り立つ。さらに $$f(2)=\frac{2^2}{2^2}=1,f(4)=\frac{2^4}{4^2}=1$$ である。単調性から、正の範囲での解は $2$ と $4$ の2つだけである。

以上より、方程式 $2^x=x^2$ は、負の解を1つ、正の解を2つ、合計で相異なる3個の実数解をもつ。

(3)

有理数解を $$x=\frac{m}{n}$$ とおく。ただし $m,n$ は互いに素な整数、$n>0$ とする。

まず $m>0$ とする。方程式から $$2^{m\mathrm{/}n}=\frac{m^2}{n^2}$$ である。両辺を $n$ 乗して $$2^m=\frac{m^{2n}}{n^{2n}}$$ すなわち $2^m{n}^{2n}=m^{2n}$ を得る。$m$ と $n$ は互いに素なので、右辺 $m^{2n}$ は $n$ と互いに素である。したがって $n=1$ でなければならない。よって正の有理数解は正の整数解である。(2)より正の実数解は $2,4$ だけなので、正の有理数解は $2,4$ である。

次に $m<0$ とする。$r=-m>0$ とおくと $$2^{-r\mathrm{/}n}=\frac{r^2}{n^2}$$ である。両辺を $n$ 乗して $$2^{-r}=\frac{r^{2n}}{n^{2n}}$$ すなわち $n^{2n}=2^r{r}^{2n}$ を得る。$r$ と $n$ は互いに素なので、右辺に $r^{2n}$ が含まれるためには $r=1$ でなければならない。しかし $r=1$ とすると $n^{2n}=2$ となり、正の整数 $n$ では不可能である。したがって負の有理数解は存在しない。

よって有理数解は $2,4$ である。