名古屋大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

底の変換公式を用いると$$\alpha \beta \gamma ={\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}2=\frac{\log 3}{\log 2}\cdot \frac{\log 5}{\log 3}\cdot \frac{\log 2}{\log 5}=1$$である。

(2)

まず $\gamma ={\log }_{5}2<1$ であり，また $\beta ={\log }_{3}5>1$ である。したがって $\gamma <1<\beta$ である。

次に $${\displaystyle \beta <\frac{3}{2}}$$ は，底 $3>1$ に注意すると $5<3^{3\mathrm{/}2}$ と同値である。両辺は正なので2乗して $25<27$ となり，これは成り立つ。よって $${\displaystyle \beta <\frac{3}{2}}$$ である。

また $${\displaystyle \frac{3}{2}<\alpha }$$ は $2^{3\mathrm{/}2}<3$ と同値であり，両辺を2乗すると $8<9$ であるから成り立つ。したがって $$\gamma <\beta <\delta <\alpha$$ である。

(3)

(1) より $\alpha \beta \gamma =1$ であるから$$q=\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x^3+(\alpha +\beta +\gamma )x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x+\alpha \beta \gamma }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x+\alpha )(x+\beta )(x+\gamma )}\end{array}$$である。

さらに $${\displaystyle \gamma <\frac{1}{2}}$$ を確認しておく。これは $${\displaystyle {\log }_{5}2<\frac{1}{2}}$$ すなわち $2<\sqrt{5}$ と同値で，$4<5$ より成り立つ。

よって$$f(-\frac{1}{2})=(\alpha -\frac{1}{2})(\beta -\frac{1}{2})(\gamma -\frac{1}{2})$$であり，最初の2因子は正，最後の因子は負である。したがって $${\displaystyle f(-\frac{1}{2})<0}$$ である。

また $$\alpha >1,\beta >1,\gamma <1$$ だから $$f(-1)=(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)<0$$ である。最後に，(2) より $\alpha >3\mathrm{/}2$，$\beta <3\mathrm{/}2$，$\gamma <3\mathrm{/}2$ なので$$f(-\frac{3}{2})=(\alpha -\frac{3}{2})(\beta -\frac{3}{2})(\gamma -\frac{3}{2})>0$$である。

(1) (2) で得た積と大小関係を使って三次式を因数分解し，3つの零点を数直線上に配置する。代入値を展開せず，各点がどの零点間にあるかと最高次係数の符号だけで判定する。

(1) 底の変換公式から$$\alpha \beta \gamma =1$$である。

(2) 対数の大小を指数の大小へ戻すと$$0<\gamma <\frac{1}{2}<1<\beta <\frac{3}{2}<\alpha$$を得る。したがって小さい順は $\gamma ,\beta ,\delta ,\alpha$ である。

(3) $\alpha \beta \gamma =1$ より$$q=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$$なので$$f(x)=(x+\alpha )(x+\beta )(x+\gamma )$$である。したがって3つの零点と判定点の順序は$$-\alpha <-\frac{3}{2}<-\beta <-1<-\frac{1}{2}<-\gamma <0$$となる。最高次係数は正で，単根を通過するたびに符号が変わる。

よって $-3\mathrm{/}2$ は正の区間，$-1,-1\mathrm{/}2$ は負の区間にあるから$$f(-\frac{1}{2})<0,f(-1)<0,f(-\frac{3}{2})>0$$である。