名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

曲線$C:y=\log x$上の接点を$(a,\log a)$とする．
$y^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}x$だから，この点における接線は$$y={\displaystyle \frac{1}{a}}(x-a)+\log a={\displaystyle \frac{x}{a}}+\log a-1$$である．この直線が点$(0,b)$を通るための条件は$$b=\log a-1$$である．したがって$a=e^{b+1}$であり，求める接線は$$y=e^{-b-1}x+b$$である．

(2)

$A_n=(x_n,\log x_n)$とおくと$B_n=(0,\log x_n)$である．
(1)で$b=\log x_n$とすれば，次の接点の$x$座標は$$x_{n+1}=e^{\log x_n+1}=e{x}_n$$となる．$x_1=1$より$$x_n=e^{n-1}$$である．また，$B_n$を通る接線は$$y=e^{-n}x+n-1$$である．

$A_n=(e^{n-1},n-1)$，$A_{n+1}=(e^n,n)$である．
求める領域は，$0\leqq x\leqq e^{n-1}$では接線と水平線
$y=n-1$の間，$e^{n-1}\leqq x\leqq e^n$では接線と曲線
$y=\log x$の間である．よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{e^{n-1}}{e}^{-n}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{e^{n-1}}^{e^n}\{e^{-n}x+n-1-\log x\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$第1項は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{n-2}$$である．第2項の原始関数は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-n}{x}^2+(n-1)x-x\log x+x$$であり，上端で${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^n$，下端で
${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{n-2}+e^{n-1}$となる．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{n-2}+({\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^n-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{n-2}-e^{n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e-2}{2}}{e}^{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

(2) より$${\displaystyle \frac{n}{S_n}}={\displaystyle \frac{2n}{(e-2)e^{n-1}}}$$である．$\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }<1$に対して$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{r}^{n-1}={\displaystyle \frac{1}{(1-r{)}^2}}$$であるから，$r=1\mathrm{/}e$として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{S_n}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{e-2}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)}^{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{e-2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(1-1\mathrm{/}e{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2e^2}{(e-2)(e-1{)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$

図は $n=1$ の相似形．水平線・接線・曲線の順を確認して積分を分ける．