名古屋大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
放物線 $y=f(x)=x^2+bx+c$ が $(p,0),(q,0)$ を通るので，$p,q$ は方程式 $x^2+bx+c=0$ の2つの実数解である。したがって解と係数の関係より $p+q=-b,pq=c$ である。また $p<q$ だから $$q-p=\sqrt{(p+q{)}^2-4pq}=\sqrt{b^2-4c}$$ である。

定義から$$r=\frac{1+t}{2}p+\frac{1-t}{2}q,s=\frac{1-t}{2}p+\frac{1+t}{2}q$$である。よって $$q-s=q-(\frac{1-t}{2}p+\frac{1+t}{2}q)=\frac{1-t}{2}(q-p)$$ であり，同様に $$r-p=(\frac{1+t}{2}p+\frac{1-t}{2}q)-p=\frac{1-t}{2}(q-p)$$ である。また $s+r=p+q=-b$ であり，$$s-r=(\frac{1-t}{2}-\frac{1+t}{2})p+(\frac{1+t}{2}-\frac{1-t}{2})q=t(q-p)$$である。したがって $$q-s=r-p=\frac{1-t}{2}\sqrt{b^2-4c}$$ $$s+r=-b,s-r=t\sqrt{b^2-4c}$$ である。

(2)
(1)で求めた和と差を用いる。まず $$sr=\frac{(s+r{)}^2-(s-r{)}^2}{4}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle sr}& {\displaystyle =\frac{(-b{)}^2-t^2(b^2-4c)}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{b^2-t^2(b^2-4c)}{4}}\end{array}$$である。

また $s^2+r^2=(s+r{)}^2-2sr$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s^2+r^2}& {\displaystyle =b^2-2\cdot \frac{b^2-t^2(b^2-4c)}{4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{b^2+t^2(b^2-4c)}{2}}\end{array}$$である。

$p,r,s,q$ の並びと、(3) で面積を求める領域は次のようになる。

(3) $$u=\frac{p+q}{2},d=\frac{q-p}{2}$$ とおく。すると $p=u-d$，$q=u+d$ であり，(1)の定義から $r=u-td,s=u+td$ である。$0<t\leqq 1$ だから，$r,s$ は2つの根 $p,q$ の間にある。

また $f(x)=(x-p)(x-q)$ である。$x=u+v$ とおくと $$f(u+v)=\{(u+v)-(u-d)\}\{(u+v)-(u+d)\}=(v+d)(v-d)=v^2-d^2$$ である。したがって根の間では $f(x)\leqq 0$ であり，求める面積は $${\int }_r^s-f(x)dx={\int }_{-td}^{td}(d^2-v^2)dv$$ である。

被積分関数は偶関数なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-td}^{td}(d^2-v^2)dv}& {\displaystyle =2{\int }_0^{td}(d^2-v^2)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[d^{2}v-\frac{v^3}{3}]}_0^{td}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2d^3(t-\frac{t^3}{3})}\end{array}$$である。ここで $$d=\frac{q-p}{2}=\frac{\sqrt{b^2-4c}}{2}$$ であるから，求める面積は $\frac{(b^2-4c)\sqrt{b^2-4c}}{4}(t-\frac{t^3}{3})$ である。