Evolton
方針
条件(＊)より，積に現れる各素数の累乗部分は のうちただ1つに丸ごと割り振られる。(1)は の3つの素数ブロックを大小順に列挙する。(2)は に現れる 個の素数ブロックを，順序つきの3つの場所へ割り振るので 通りである。(3)では大小順にするため，順序つきの割り振りを並べ替えでまとめる。特別に2つが等しくなるのは の場合だけであることを使う。
解答
(1) である。条件(＊)より， のどの2つも共通の素因数を持たない。したがって ，， は，それぞれ のうち1つだけに丸ごと入る。
3つの素数ブロックを と見て，大小順 で並べた組を列挙する。3つをすべて同じ数に入れると である。2つを同じ数に入れると である。3つを別々に入れると である。
したがって求める組は である。
(2) に現れる素数は 個である。それぞれの素数 について， に含まれる の累乗部分を のどれか1つへ割り振る必要があり，またそのようにすれば条件(＊)を満たす。
各素数の累乗部分について割り振り先は3通りであり， 個の素数について独立に選べる。したがって条件(＊)かつ を満たす順序つきの組の個数は である。
(3)
(2)で数えた 通りは， の順序を区別している。ここから を満たす組の個数を求める。
条件(＊)のもとで，もし2つの数が等しいなら，その2つは互いに素である同じ正整数である。したがってその共通の値は1でなければならない。 なので，3つすべてが等しいことはなく，2つが等しい場合は を並べ替えた場合だけである。
大小順にした組のうち， は順序つきでは の3通りに対応する。それ以外の大小順の組は3つの値がすべて異なるので，順序つきでは6通りに対応する。
求める個数を とする。すると，大小順の組のうち1個は であり，残り 個はそれぞれ6通りの順序つき組をもつ。よって である。これを解くと である。したがって求める個数は である。
総評
難度5，計算量4。想定時間は12分程度。条件(＊)により， の各素数冪 は のどれか1つへ丸ごと割り当てられる。このため順序つきの総数は である。(3)で単純に6で割るのは誤りで，2つの値が等しい場合を別扱いする必要がある。互いに素な等しい正整数は1だけなので，例外は の並べ替え3通りに限られ，他は軌道の大きさが6となる。よって から を得る。採点では，この例外の一意性を一文で証明することが重要である。順列の作用による固定点数を数える方法でも同じ式を得られるが，本解法の方が高校範囲で短い。