岡山大学 2016年度 前期文系数学 第1問

(1) $$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$であるから，${\omega }^2+\omega +1=0$，${\omega }^3=1$である。したがって$${\omega }^2+{\omega }^4={\omega }^2+\omega =-1$$である。また${\omega }^5={\omega }^2$，${\omega }^{10}=\omega$であるから$${\omega }^5+{\omega }^{10}={\omega }^2+\omega =-1$$である。

(2)
$n$を3で割った余りで場合分けする。$n$が3の倍数のとき，${\omega }^n=1$，${\omega }^{2n}=1$であるから$${\omega }^n+{\omega }^{2n}=2$$である。

$n$が3で割って1余るとき，${\omega }^n=\omega$，${\omega }^{2n}={\omega }^2$であるから，和は$-1$である。

$n$が3で割って2余るとき，${\omega }^n={\omega }^2$，$${\omega }^{2n}={\omega }^4=\omega$$であるから，和は$-1$である。

よって$${\omega }^n+{\omega }^{2n}=\{\begin{array}{ll}2& (n\text{が}3\text{の倍数}),\\ -1& (n\text{が}3\text{の倍数でない})\end{array}$$である。

(3)
$\alpha =\omega +2$，$\beta ={\omega }^2+2$とおく。すると$$\alpha +\beta =\omega +{\omega }^2+4=3$$であり，$$\alpha \beta =(\omega +2)({\omega }^2+2)={\omega }^3+2(\omega +{\omega }^2)+4=1-2+4=3$$である。

$S_n={\alpha }^n+{\beta }^n$とおく。$\alpha ,\beta$はともに方程式$X^2-3X+3=0$を満たすから，$n\geqq 1$について$$S_{n+2}=3S_{n+1}-3S_n$$である。また$S_1=\alpha +\beta =3$，$$S_2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =9-6=3$$である。したがって漸化式から，数学的帰納法によりすべての正の整数$n$について$S_n$は整数である。

ゆえに$$(\omega +2{)}^n+({\omega }^2+2{)}^n$$は整数である。

(1) (2) は ${\omega }^2+\omega +1=0$，${\omega }^3=1$ だけで指数を整理する。(3) は2つの式を二項展開して同じ次数の項をまとめ，係数に現れる ${\omega }^k+{\omega }^{2k}$ が (2) により整数であることを使う。

(1) 与えられた $\omega$ を代入すると$${\omega }^2+\omega +1=0,{\omega }^3=1.$$したがって$${\omega }^2+{\omega }^4={\omega }^2+\omega =-1,{\omega }^5+{\omega }^{10}={\omega }^2+\omega =-1.$$(2) $n$ を3で割った余りが0なら ${\omega }^n={\omega }^{2n}=1$ である。余りが1または2なら，${\omega }^n$ と ${\omega }^{2n}$ は順序を除いて $\omega ,{\omega }^2$ である。よって$${\omega }^n+{\omega }^{2n}=\{\begin{array}{ll}2& (n\text{ が }3\text{ の倍数}),\\ -1& (n\text{ が }3\text{ の倍数でない})\end{array}$$である。

(3) 二項定理により$$(\omega +2{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^{n-k}{\omega }^k,$$$$({\omega }^2+2{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^{n-k}{\omega }^{2k}\mathrm{.}$$辺々を加えると$$(\omega +2{)}^n+({\omega }^2+2{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^{n-k}({\omega }^k+{\omega }^{2k})\mathrm{.}$$(2) と同じ考察は $k=0$ にも成り立ち，括弧内は $2$ または $-1$ である。また ${}_n{\mathrm{C}}_k$ と $2^{n-k}$ は整数である。したがって右辺の各項は整数であり，その有限和も整数である。ゆえに，すべての正の整数 $n$ について$$(\omega +2{)}^n+({\omega }^2+2{)}^n$$は整数である。