岡山大学 2019年度 前期 数学I・II・III・A・B理系数学 第3問

(1)
$z=a+bi,w=c+di$ とおく。条件 $$z\bar{w}=\bar{z}w$$ の虚部を比較すると$$bc-ad=ad-bc$$であるから，$ad=bc$ である。したがってベクトル $(a,b)$ と $(c,d)$ は平行であり，複素数平面において $0,z,w$ は一直線上にある。

(2)
$z\mathrm{\ne }0$ で，$z$ の偏角が $\theta$ であるから，ある正の実数 $r$ を用いて$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$と書ける。$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ より$$r^2-2r\cos \theta +1=1$$である。$r>0$ だから$$r=2\cos \theta$$となる。よって$$z=2\cos \theta (\cos \theta +i\sin \theta )$$である。

(1) より $$w=s(\cos \theta +i\sin \theta )$$ と書ける。ただし $s$ は実数である。さらに $\mathrm{\mid }z-w\mathrm{\mid }=2$ だから$$\mathrm{\mid }2\cos \theta -s\mathrm{\mid }=2$$であり，$$s=2\cos \theta +2,2\cos \theta -2$$である。したがって$$w=2(\cos \theta +1)(\cos \theta +i\sin \theta )$$または$$w=2(\cos \theta -1)(\cos \theta +i\sin \theta )$$である。

(3)
(2)の2通りのうち，後者の虚部は$$2(\cos \theta -1)\sin \theta \leqq 0$$である。前者の虚部を$$F(\theta )=2(1+\cos \theta )\sin \theta$$とおく。$$0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}$$ において$$F^{\mathrm{\prime }}(\theta )=2\{2{\cos }^2\theta +\cos \theta -1\}=2(2\cos \theta -1)(\cos \theta +1)$$である。よって $F(\theta )$ は $$\theta =\frac{\pi }{3}$$ で最大となり，その値は$$F\left(\frac{\pi }{3}\right)=2(1+\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$である。したがって虚部の最大値は$$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$である。

商 $w\mathrm{/}z$ が実数であることを直接示して、$z,w$ を同じ方向の実数倍として扱う。円条件を極形式で解き、虚部の最大化には半角公式を用いる。

(1)
$z\mathrm{\ne }0$ なので$$\frac{w}{z}=\frac{w\bar{z}}{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2}\mathrm{.}$$仮定 $$z\bar{w}=\bar{z}w$$ より、$w\bar{z}$ はその共役と等しく実数である。したがって $w\mathrm{/}z$ は実数であり、$w$ は $z$ の実数倍である。ゆえに $0,z,w$ は一直線上にある。

(2)
極形式で$$z=r{e}^{i\theta }(r>0)$$とおく。$\mathrm{\mid }z-1\mathrm{\mid }=1$ を2乗すると$$r^2-2r\cos \theta =0.$$よって$$r=2\cos \theta ,z=2\cos \theta e^{i\theta }\mathrm{.}$$また $w=\lambda e^{i\theta }$ と書けば $\lambda$ は実数で$$\mathrm{\mid }z-w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2\cos \theta -\lambda \mathrm{\mid }=2.$$したがって$$w=2(\cos \theta +1)e^{i\theta }\text{または}w=2(\cos \theta -1)e^{i\theta }\mathrm{.}$$(3)
$0\leqq \theta <\pi \mathrm{/}2$ では第2の枝の虚部は0以下なので、最大値は第1の枝で調べればよい。その虚部は$$Y=2(1+\cos \theta )\sin \theta \mathrm{.}$$$u=\theta \mathrm{/}2$ とおくと$$Y=8\sin u{\cos }^{3}u(0\leqq u<\frac{\pi }{4})\mathrm{.}$$ここで$$\frac{d}{du}\{\sin u{\cos }^{3}u\}={\cos }^{2}u(1-4{\sin }^{2}u)\mathrm{.}$$よって最大となるのは $\sin u=1\mathrm{/}2$、すなわち $u=\pi \mathrm{/}6$、$\theta =\pi \mathrm{/}3$ のときである。したがって$$Y_{\max }=8\cdot \frac{1}{2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$