岡山大学 2017年度 前期 数学I・II・III・A・B理系数学 第4問

(1)
$n\geqq 2$とする。与えられた漸化式から$$z_{2n+1}-z_{2n}=\alpha (z_{2n}-z_{2n-1})$$であり，さらに$$z_{2n+2}-z_{2n+1}=\bar{\alpha }(z_{2n+1}-z_{2n})=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2(z_{2n}-z_{2n-1})$$である。したがって$$z_{2n+2}-z_{2n}=(\alpha +\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2)(z_{2n}-z_{2n-1})$$である。

一方，$$z_{2n}-z_{2n-1}=\bar{\alpha }(z_{2n-1}-z_{2n-2})$$であるから$$z_{2n}-z_{2n-2}=(1+\bar{\alpha })(z_{2n-1}-z_{2n-2})$$である。よって$$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2(z_{2n}-z_{2n-2})=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2(1+\bar{\alpha })(z_{2n-1}-z_{2n-2})$$となる。これは$$(\alpha +\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2)(z_{2n}-z_{2n-1})$$に等しいので，$$z_{2n+2}-z_{2n}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2(z_{2n}-z_{2n-2})$$が成り立つ。

(2)
(1)より，偶数番目の点について，隣り合う差$$z_{2n+2}-z_{2n}$$は，直前の差$z_{2n}-z_{2n-2}$の正の実数倍$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$である。したがって$z_2,z_4,z_6,\dots$は同一直線上にある。

次に奇数番目について考える。$n\geqq 1$で$$z_{2n+1}-z_{2n-1}=(1+\alpha )(z_{2n}-z_{2n-1})$$である。また$z_{2n}-z_{2n-1}$は，$n$が1増えるごとに$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$倍される。したがって$z_{2n+3}-z_{2n+1}$は$z_{2n+1}-z_{2n-1}$の正の実数倍$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$である。よって$z_1,z_3,z_5,\dots$も同一直線上にある。

(3)
$r=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$とおく。$0<r<1$である。偶数番目の列について，$$z_4-z_2=\alpha +r$$であり，(1)から$$z_{2N}=1+(\alpha +r)(1+r+\cdots +r^{N-2})(N\geqq 2)$$である。したがって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_{2N}=1+\frac{\alpha +r}{1-r}=\frac{1+\alpha }{1-r}$$である。

奇数番目の列については$$z_3-z_1=1+\alpha$$であり，隣り合う奇数番目どうしの差は順に$r$倍されるから$$z_{2N+1}=(1+\alpha )(1+r+\cdots +r^{N-1})$$である。よって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{z}_{2N+1}=\frac{1+\alpha }{1-r}$$である。

偶数番目，奇数番目の極限が一致するので，求める複素数は$$w=\frac{1+\alpha }{1-\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$である。

隣接差$d_k=z_{k+1}-z_k$を導入し，奇数番目・偶数番目の差を最初から陽に書く。点列自体を等比級数の部分和として求める。

$d_k=z_{k+1}-z_k$，$r=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$とおく。$d_1=1$であり，漸化式から$$d_{2j}=\alpha r^{j-1},d_{2j+1}=r^j(j\geqq 1)$$を得る。

(1) $$z_{2n+2}-z_{2n}=d_{2n}+d_{2n+1}=(\alpha +r)r^{n-1}$$であり，1つ前の差は$(\alpha +r)r^{n-2}$だから$$z_{2n+2}-z_{2n}=r(z_{2n}-z_{2n-2})$$である。

(2)
偶数番目どうしの差はすべて$\alpha +r$の非負実数倍，奇数番目どうしの差は$$z_{2n+1}-z_{2n-1}=d_{2n-1}+d_{2n}=(1+\alpha )r^{n-1}$$となり，すべて$1+\alpha$の非負実数倍である。よって各点列はそれぞれ同一直線上にある。

(3)
差を足し合わせると$$z_{2N}=1+(\alpha +r)\sum _{j=0}^{N-2}{r}^j,z_{2N+1}=(1+\alpha )\sum _{j=0}^{N-1}{r}^j$$である。$0<r<1$より両方の極限は$$\frac{1+\alpha }{1-r}$$に一致する。したがって$$w=\frac{1+\alpha }{1-\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$である。