岡山大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ．

(1) $6$ 人を $2$ 人ずつ $3$ 組に分ける方法は何通りあるか．

(2) $7$ 人を $2$ 人， $2$ 人， $3$ 人の $3$ 組に分ける方法は何通りあるか．

(3) $A, B, C, D, E, F, G, H$ の $8$ 人から $7$ 人を選び，さらにその $7$ 人を $2$ 人， $2$ 人， $3$ 人の $3$ 組に分ける． $A, B$ の $2$ 人がともに選ばれて，かつ同じ組になる確率を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期理系第1問

方針

解法1

組の順序を区別しないことに注意して数える。(1)は3組のペアの順序を $3!$ で割る。(2)は3人組を先に選び，残りを2組のペアに分ける。(3)は選ぶ7人と分け方を全事象とし， $A, B$ が同じ2人組になる場合と3人組になる場合に分ける。

解法2

(1)，(2)は組を順に作る代わりに階乗公式で数える。(3)は $A, B$ がともに選ばれる確率と，選ばれた後に同じ組へ入る条件付き確率を掛ける。

解答

解法1

(1)

まず6人から2人を選び，次に残り4人から2人を選び，最後に残り2人を1組にする。このままでは3組の順序を区別しているので， $3!$ で割る。したがって

\frac{_{6} C _{2} _{4} C _{2} _{2} C _{2}}{3 !} = \frac{15 \cdot 6 \cdot 1}{6} = 15

通りである。

(2)

3人組を先に選ぶと $_{7} C_{3} = 35$ 通りである。残り4人を2人ずつ2組に分ける方法は

\frac{_{4} C _{2} _{2} C _{2}}{2 !} = 3

通りである。よって求める方法は

35 \cdot 3 = 105

通りである。

(3)

全事象の数は，8人から7人を選び，その7人を(2)の方法で分けるから

_{8} C_{7} \cdot 105 = 840

である。

$A, B$ がともに選ばれるには，選ばれない1人は $C, D, E, F, G, H$ の6人のうちの1人である。固定された7人の中で $A, B$ が同じ組になる場合を数える。

$A, B$ が2人組を作る場合，残り5人を2人組と3人組に分ければよいので $_{5} C_{2} = 10$ 通りである。

$A, B$ が3人組に入る場合，残り5人から同じ組に入る1人を選び，残り4人を2人組2つに分ける。これは

_{5} C_{1} \cdot \frac{_{4} C _{2} _{2} C _{2}}{2 !} = 5 \cdot 3 = 15

通りである。

したがって有利な場合の数は

6 (10 + 15) = 150

である。よって求める確率は

\frac{150}{840} = \frac{5}{28}

である。

解法2

(1)

大きさ2の組を3個作る分割数は

\frac{6 !}{( 2 ! ) ^{3} 3 !} = 15

通りである。

(2)

大きさ2の組が2個，大きさ3の組が1個なので

\frac{7 !}{( 2 ! ) ^{2} 3 ! 2 !} = 105

通りである。

(3)

8人から7人を選ぶとき， $A, B$ がともに選ばれる確率は

\frac{_{6} C _{5}}{_{8} C _{7}} = \frac{3}{4}

である。7人を $2, 2, 3$ 人の組に無作為に分けると， $A$ が2人組に入る確率は $\frac{4}{7}$ ，3人組に入る確率は $\frac{3}{7}$ である。 $A$ の組が決まった後，残る6人のうち $B$ が同じ組に入る確率は，それぞれ $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}$ である。したがって条件付き確率は

\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{6} + \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{5}{21}

である。ゆえに求める確率は

\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{21} = \frac{5}{28}

である。

岡山大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

岡山大学 2017年度
理系数学第1問