岡山大学 2017年度 前期理系数学 第1問

(1)
まず6人から2人を選び，次に残り4人から2人を選び，最後に残り2人を1組にする。このままでは3組の順序を区別しているので，$3!$で割る。したがって$$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_2{}_4{\mathrm{C}}_2{}_2{\mathrm{C}}_2}{3!}=\frac{15\cdot 6\cdot 1}{6}=15$$通りである。

(2)
3人組を先に選ぶと${}_7{\mathrm{C}}_3=35$通りである。残り4人を2人ずつ2組に分ける方法は$$\frac{{}_4{\mathrm{C}}_2{}_2{\mathrm{C}}_2}{2!}=3$$通りである。よって求める方法は$$35\cdot 3=105$$通りである。

(3)
全事象の数は，8人から7人を選び，その7人を(2)の方法で分けるから$${}_8{\mathrm{C}}_7\cdot 105=840$$である。

$A,B$がともに選ばれるには，選ばれない1人は$C,D,E,F,G,H$の6人のうちの1人である。固定された7人の中で$A,B$が同じ組になる場合を数える。

$A,B$が2人組を作る場合，残り5人を2人組と3人組に分ければよいので${}_5{\mathrm{C}}_2=10$通りである。

$A,B$が3人組に入る場合，残り5人から同じ組に入る1人を選び，残り4人を2人組2つに分ける。これは$${}_5{\mathrm{C}}_1\cdot \frac{{}_4{\mathrm{C}}_2{}_2{\mathrm{C}}_2}{2!}=5\cdot 3=15$$通りである。

したがって有利な場合の数は$$6(10+15)=150$$である。よって求める確率は$$\frac{150}{840}=\frac{5}{28}$$である。

(1) ，(2)は組を順に作る代わりに階乗公式で数える。(3)は$A,B$がともに選ばれる確率と，選ばれた後に同じ組へ入る条件付き確率を掛ける。

(1)
大きさ2の組を3個作る分割数は$$\frac{6!}{(2!{)}^{3}3!}=15$$通りである。

(2)
大きさ2の組が2個，大きさ3の組が1個なので$$\frac{7!}{(2!{)}^{2}3!2!}=105$$通りである。

(3)
8人から7人を選ぶとき，$A,B$がともに選ばれる確率は$$\frac{{}_6{\mathrm{C}}_5}{{}_8{\mathrm{C}}_7}=\frac{3}{4}$$である。7人を$2,2,3$人の組に無作為に分けると，$A$が2人組に入る確率は$\frac{4}{7}$，3人組に入る確率は$\frac{3}{7}$である。$A$の組が決まった後，残る6人のうち$B$が同じ組に入る確率は，それぞれ$\frac{1}{6},\frac{2}{6}$である。したがって条件付き確率は$$\frac{4}{7}\cdot \frac{1}{6}+\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{6}=\frac{5}{21}$$である。ゆえに求める確率は$$\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{21}=\frac{5}{28}$$である。