岡山大学 2017年度 前期理系数学 第2問

(1)
$C_1:y=\log (2x)$上の接点の$x$座標を$a$，$C_2:y=2\log x$上の接点の$x$座標を$b$とする。$a>0,b>0$である。

$C_1$の接線は$$y=\frac{1}{a}x+\log (2a)-1$$であり，$C_2$の接線は$$y=\frac{2}{b}x+2\log b-2$$である。これらが同じ直線であるから$$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$$より$b=2a$である。また切片を比べて$$\log (2a)-1=2\log (2a)-2$$となるので，$\log (2a)=1$，すなわち$2a=e$である。したがって$$a=\frac{e}{2}$$，$b=e$であり，共通接線は$$y=\frac{2}{e}x$$である。

(2)
$C_1$と$C_2$の交点は$$\log (2x)=2\log x$$より，$x>0$であることに注意して$2x=x^2$，したがって$x=2$である。

対数関数のグラフは上に凸であるから，接線$l$はそれぞれの曲線の上側にある。よって囲まれる領域の面積$S$は$$S={\int }_{e\mathrm{/}2}^2(\frac{2x}{e}-\log (2x))dx+{\int }_2^e(\frac{2x}{e}-2\log x)dx$$である。

計算すると$$\int (\frac{2x}{e}-\log (2x))dx=\frac{x^2}{e}-x\log (2x)+x$$であり，$$\int (\frac{2x}{e}-2\log x)dx=\frac{x^2}{e}-2x\log x+2x$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={[\frac{x^2}{e}-x\log (2x)+x]}_{e\mathrm{/}2}^2+{[\frac{x^2}{e}-2x\log x+2x]}_2^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{4}{e}-2\log 4+2-\frac{e}{4})+(e-\frac{4}{e}+4\log 2-4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3e}{4}-2}\end{array}$$である。

基本不等式$\log u\leqq u-1$を2曲線に適用し，共通接線を接点計算なしで見つける。面積は無次元変数に置換して同じ形の積分にそろえる。

(1)
$u>0$で$\log u\leqq u-1$であり，等号は$u=1$のときだけ成り立つ。$$u=\frac{2x}{e}$$とすると$$\log (2x)=1+\log u\leqq u=\frac{2x}{e}$$で，等号は$$x=\frac{e}{2}$$のときである。また$$v=\frac{x}{e}$$とすると$$2\log x=2+2\log v\leqq 2v=\frac{2x}{e}$$で，等号は$x=e$のときである。よって両曲線の共通接線は$$y=\frac{2}{e}x$$である。

(2)
2曲線の交点は$x=2$である。第1の積分では$u=2x\mathrm{/}e$，第2では$v=x\mathrm{/}e$とおくと$$S=\frac{e}{2}{\int }_1^{4\mathrm{/}e}(u-1-\log u)du+2e{\int }_{2\mathrm{/}e}^1(v-1-\log v)dv$$となる。ここで$$\int (s-1-\log s)ds=\frac{s^2}{2}-s\log s$$であるから，端点を代入して整理すると$$S=\frac{3e}{4}-2$$を得る。