岡山大学 2017年度理系数学第2問解答・解説

問題

座標平面内の $2$ つの曲線

C_{1} : y = lo g (2 x), C_{2} : y = 2 lo g x

の共通接線を $l$ とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ．

(2) $C_{1}, C_{2}$ および $l$ で囲まれる領域の面積を求めよ．

出典：岡山大学 2017年度前期理系第2問

方針

解法1

共通接線について， $C_{1}$ 上の接点を $x = a$ ， $C_{2}$ 上の接点を $x = b$ とおく。傾きと切片を一致させて接線を求める。面積は，接線が対数曲線の上側にあることを使い，交点 $x = 2$ で積分区間を分けて計算する。

解法2

基本不等式 $lo g u ≦ u - 1$ を2曲線に適用し，共通接線を接点計算なしで見つける。面積は無次元変数に置換して同じ形の積分にそろえる。

解答

解法1

(1)

$C_{1} : y = lo g (2 x)$ 上の接点の $x$ 座標を $a$ ， $C_{2} : y = 2 lo g x$ 上の接点の $x$ 座標を $b$ とする。 $a > 0, b > 0$ である。

$C_{1}$ の接線は

y = \frac{1}{a} x + lo g (2 a) - 1

であり， $C_{2}$ の接線は

y = \frac{2}{b} x + 2 lo g b - 2

である。これらが同じ直線であるから

\frac{1}{a} = \frac{2}{b}

より $b = 2 a$ である。また切片を比べて

lo g (2 a) - 1 = 2 lo g (2 a) - 2

となるので， $lo g (2 a) = 1$ ，すなわち $2 a = e$ である。したがって $a = \frac{e}{2}$ ， $b = e$ であり，共通接線は

y = \frac{2}{e} x

である。

(2)

$C_{1}$ と $C_{2}$ の交点は

lo g (2 x) = 2 lo g x

より， $x > 0$ であることに注意して $2 x = x^{2}$ ，したがって $x = 2$ である。

対数関数のグラフは上に凸であるから，接線 $l$ はそれぞれの曲線の上側にある。よって囲まれる領域の面積 $S$ は

S = \int_{e /2}^{2} (\frac{2 x}{e} - lo g (2 x)) d x + \int_{2}^{e} (\frac{2 x}{e} - 2 lo g x) d x

である。

計算すると

\int (\frac{2 x}{e} - lo g (2 x)) d x = \frac{x ^{2}}{e} - x lo g (2 x) + x

であり，

\int (\frac{2 x}{e} - 2 lo g x) d x = \frac{x ^{2}}{e} - 2 x lo g x + 2 x

である。したがって

S = [\frac{x ^{2}}{e} - x lo g (2 x) + x]_{e /2}^{2} + [\frac{x ^{2}}{e} - 2 x lo g x + 2 x]_{2}^{e} = (\frac{4}{e} - 2 lo g 4 + 2 - \frac{e}{4}) + (e - \frac{4}{e} + 4 lo g 2 - 4) = \frac{3 e}{4} - 2

である。

解法2

(1)

$u > 0$ で $lo g u ≦ u - 1$ であり，等号は $u = 1$ のときだけ成り立つ。 $u = \frac{2 x}{e}$ とすると

lo g (2 x) = 1 + lo g u ≦ u = \frac{2 x}{e}

で，等号は $x = \frac{e}{2}$ のときである。また $v = \frac{x}{e}$ とすると

2 lo g x = 2 + 2 lo g v ≦ 2 v = \frac{2 x}{e}

で，等号は $x = e$ のときである。よって両曲線の共通接線は

y = \frac{2}{e} x

である。

(2)

2曲線の交点は $x = 2$ である。第1の積分では $u = 2 x / e$ ，第2では $v = x / e$ とおくと

S = \frac{e}{2} \int_{1}^{4/ e} (u - 1 - lo g u) d u + 2 e \int_{2/ e}^{1} (v - 1 - lo g v) d v

となる。ここで

\int (s - 1 - lo g s) d s = \frac{s ^{2}}{2} - s lo g s

であるから，端点を代入して整理すると

S = \frac{3 e}{4} - 2

を得る。

岡山大学 2017年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

岡山大学 2017年度
理系数学第2問